拋物型方程定解問(wèn)題的有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算

前言

　　計(jì)算學(xué)是科技進(jìn)步的重要推動(dòng)力量——淺談?dòng)?jì)算物理和高性能計(jì)算學(xué)　　計(jì)算物理（CP）是以計(jì)算機(jī)為工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決物理問(wèn)題的一門應(yīng)用性學(xué)科，是物理、數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)三者結(jié)合的交叉性學(xué)科。它產(chǎn)生于第二次世界大戰(zhàn)期間美國(guó)對(duì)核武器的研制，伴隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而發(fā)展?！　P的目的不僅僅是計(jì)算，而是要通過(guò)計(jì)算來(lái)解釋和發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。這一點(diǎn)它與傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)物理和理論物理并無(wú)差別，所不同的只是在于使用的工具和方法上。計(jì)算物理早已與實(shí)驗(yàn)物理和理論物理形成三足鼎立之勢(shì)，甚至有人提出它將成為現(xiàn)代物理大廈的“棟梁”?！　〉诙问澜绱髴?zhàn)之后，由于計(jì)算機(jī)的突飛猛進(jìn)，快速發(fā)展，大大增強(qiáng)了人們從事科學(xué)研究的能力，促進(jìn)了不同學(xué)科之間的交叉滲透，縮短了基礎(chǔ)研究到應(yīng)用開發(fā)的過(guò)程，加速了把科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的進(jìn)程。計(jì)算物理的方法和技巧也迅速地從核物理向其他學(xué)科滲透，從軍工系統(tǒng)向民用系統(tǒng)轉(zhuǎn)移，大大豐富了計(jì)算科學(xué)內(nèi)容。從20世紀(jì)80年代起，人們常常使用“科學(xué)與工程計(jì)算”一詞，似乎比“計(jì)算物理”更名副其實(shí)。進(jìn)入90年代，需要用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算或模擬的問(wèn)題越來(lái)越大且越復(fù)雜，使用的計(jì)算機(jī)越來(lái)越快。高性能計(jì)算已成為促進(jìn)現(xiàn)代科技發(fā)展一個(gè)必不可少的重要手段?！　”疚氖且越?0年來(lái)在美國(guó)發(fā)生的事實(shí)，論述從計(jì)算物理學(xué)到高性能計(jì)算學(xué)的演變過(guò)程。　?。ㄒ唬┯?jì)算物理的形成和發(fā)展　　現(xiàn)在人們已經(jīng)知道美國(guó)研制原子彈是從1942年6月17日羅斯?？偨y(tǒng)批準(zhǔn)“制造核武器計(jì)劃”的報(bào)告算起，8月13日正式啟動(dòng)代號(hào)為“曼哈頓工程”的計(jì)劃，直到1945年8月9日將制造出來(lái)的三顆原子彈中的最后一顆投在日本長(zhǎng)崎為止，歷時(shí)3年，投入人力15萬(wàn)，耗資20億美元。在研制過(guò)程中科學(xué)家們遇到許多不清楚的問(wèn)題，都需要通過(guò)計(jì)算來(lái)解決。當(dāng)時(shí)主要依靠手搖計(jì)算機(jī)和哈佛大學(xué)一臺(tái)可用的“馬克”計(jì)算機(jī)。這臺(tái)每秒只能進(jìn)行三次加法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)卻在美國(guó)的原子彈攻關(guān)中立了大功。例如，原子彈研制中的臨界質(zhì)量、聚合爆轟、中子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)、金屬壓縮性能等物理規(guī)律的摸清都是依靠計(jì)算機(jī)的計(jì)算，利用數(shù)字近似來(lái)研究客觀現(xiàn)實(shí)的方法，這就創(chuàng)建了一門新的學(xué)科——計(jì)算物理學(xué)。

內(nèi)容概要

為了適應(yīng)“計(jì)算物理一科學(xué)與工程計(jì)算一高性能計(jì)算”發(fā)展的需要，本書專門為在計(jì)算機(jī)(尤其是超高速大型計(jì)算機(jī))上大規(guī)模數(shù)值求解拋物型方程各種類型的適定問(wèn)題而寫。本書將在解決實(shí)際問(wèn)題計(jì)算過(guò)程中可能涉及到的各類問(wèn)題盡可能地加以敘述，但主要是圍繞典型方程所采用的有限差分方法的格式和技巧展開的。力求簡(jiǎn)明扼要，通俗易懂，學(xué)了能用。    本書共分10章，包括：拋物型方程定解問(wèn)題的提出、有限差分方法的基礎(chǔ)知識(shí)、求穩(wěn)定性條件的方法、拋物型方程的差分格式、非線性拋物型方程、高于二階的拋物型方程和拋物型方程組、退化拋物型方程、拋物型方程有限差分的并行計(jì)算、數(shù)值計(jì)算中的若干問(wèn)題以及數(shù)值計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用之例。    本書可作為從事與拋物型方程相關(guān)的廣大科技工作者的使用手冊(cè)和高等院校的大學(xué)生和研究生學(xué)習(xí)“偏微分方程數(shù)值解”課程的參考書以及從事專業(yè)研究工作的參考資料。

書籍目錄

前言：計(jì)算學(xué)是科技進(jìn)步的重要推動(dòng)力量——淺談?dòng)?jì)算物理和高性能計(jì)算學(xué)第一章　定解問(wèn)題的提出　1.1　引言　1.2　方程的建立　1.3　定解條件　1.4　拋物型方程的特征　1.5　方程舉例第二章　  有限差分方法的基礎(chǔ)知識(shí)  2.1　引言  2.2　差分方程的形成　　2.2.1  離散化及由此產(chǎn)生的問(wèn)題　　2.2.2　離散化的主要途徑  2.3　差分方程的基本要求　　2.3.1　局部截?cái)嗾`差和相容性　　2.3.2　離散誤差和收斂性　　2.3.3　舍入誤差和穩(wěn)定性　　2.3.4　線性差分方程的Lax等價(jià)定理　　2.3.5　其他一些概念第三章　  求穩(wěn)定性條件的方法  3.1　引言  3.2　￡圖解法  3.3　矩陣方法(直接方法)  3.4　Fourier級(jí)數(shù)法(VOll Neumann條件)  3.5　Routh Hurwitz判別法  3.6　最大值原理  3.7　能量估計(jì)法(能量不等式方法)  3.8　啟發(fā)式穩(wěn)定性分析——內(nèi)插原則  3.9　Hirt啟發(fā)性方法第四章　拋物型方程的差分格式  4.1　定義與記號(hào)……第五章　非線性拋物型方程第六章　高于二階的拋物型方程和拋物型方程組第七章　退化拋物型方程第八章　拋物型方程有限差分的并行計(jì)算第九章　數(shù)值計(jì)數(shù)中的若干問(wèn)題第十章　數(shù)值計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用之例參考文獻(xiàn)后記

章節(jié)摘錄

　　第二章 有限差分方法的基礎(chǔ)知識(shí)　　2.1 引 言　　能用解析方法求解的拋物型偏微分方程是僅限于少數(shù)常系數(shù)的線性方程，絕大多數(shù)是不能用公式求通解的，必須采用近似方法。在各種不同的近似方法中，差分方法是最重要的方法之一。我們對(duì)要求的解不是函數(shù)的表達(dá)式，而只要求在空間、時(shí)間平面上某些點(diǎn)上的值。由于快速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，這種方法的應(yīng)用更為容易，且更為廣泛，這就助長(zhǎng)了有限差分方法的發(fā)展。差分方法是求空間時(shí)間平面上某些特定點(diǎn)的值，它是隨著所選取的空間網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)而定的，其主要思想是用函數(shù)值的線性組合來(lái)代替導(dǎo)數(shù)，把微分方程變?yōu)楹瘮?shù)值的線性代數(shù)方程，微分方程的邊值問(wèn)題就變成線性代數(shù)方程組的問(wèn)題。　　由于橢圓型方程原則地區(qū)別于拋物型方程和雙曲型方程，差分法對(duì)這兩類微分方程的應(yīng)用也有很大的差別。橢圓型方程的差分問(wèn)題直接歸結(jié)為解線性代數(shù)方程組，其主要問(wèn)題是討論解法（直接法和間接法）的好壞。而拋物型和雙曲型方程（亦統(tǒng)稱為發(fā)展方程或演化方程）是沿時(shí)間t軸“按步地”（或“按層地”）求解差分的問(wèn)題，當(dāng)然最終也是歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組的問(wèn)題。但它們的基本問(wèn)題是每個(gè)差分方程的收斂性和穩(wěn)定性，尤其是穩(wěn)定性問(wèn)題。由Lax等價(jià)定理告訴我們，對(duì)一個(gè)適定的線性的初值問(wèn)題，對(duì)相容的差分逼近式來(lái)說(shuō)，穩(wěn)定性則是差分方程的解收斂于微分方程的解的充分必要條件。而拋物型差分方程的穩(wěn)定性又要比雙曲型差分方程麻煩得多，所以我們?cè)诘谌轮袑ｉT介紹各種求穩(wěn)定性條件的方法?！　∮貌罘址ń鈷佄镄头匠蹋▽?duì)雙曲型方程亦是如此）時(shí)所產(chǎn)生的困難基本上是兩點(diǎn)：一是最簡(jiǎn)單格式，乍一看來(lái)，特別是從實(shí)用的觀點(diǎn)看來(lái)是很誘惑人的，但對(duì)穩(wěn)定因素特別敏感。為了保證收斂，必須對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)加上與空間步長(zhǎng)有關(guān)的限制條件。二是從穩(wěn)定性觀點(diǎn)看來(lái)是很好的格式，實(shí)際應(yīng)用時(shí)卻不方便。所以出現(xiàn)了一系列的研究工作，提出了各種不同的格式。未必能指出哪個(gè)格式是絕對(duì)好的，每個(gè)格式都各有優(yōu)缺點(diǎn)，針對(duì)不同的問(wèn)題采用不同的差分格式，這正是我們要不斷地研究和發(fā)展各種格式的意義所在。在通常的情況下，是要尋找較弱的條件限制，較高的精確度，較方便的編制程序和較少的機(jī)器計(jì)算時(shí)間的格式。要注意，不要追求逼近階太高，以致邏輯復(fù)雜得沒(méi)有必要；又如邏輯太簡(jiǎn)單而穩(wěn)定性要求太嚴(yán)，以致機(jī)器計(jì)算的時(shí)間太多?？傊?，選取差分格式要全面地具體地考慮。蘇聯(lián)索伯列夫院士說(shuō)得好，判別一個(gè)數(shù)值方法好壞的唯一原則是“每個(gè)解的數(shù)字值多少盧布”。

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