可激勵(lì)系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)理論

前言

　　可激勵(lì)系統(tǒng)是指一類開放系統(tǒng)，由于局部動(dòng)力學(xué)過程和擴(kuò)散輸運(yùn)的相互作用，會產(chǎn)生形形色色的圖案構(gòu)形，或受外部噪聲等因素的驅(qū)動(dòng)，其原潛在的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以被恢復(fù)。這是在物理、化學(xué)、生物等非平衡系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象。　　屬前一類引人注目的開創(chuàng)性工作是曾獲得1963年度諾貝爾生理醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)的Hod-gkin和他的學(xué)生Huxley在研究烏賊巨神經(jīng)軸突中發(fā)現(xiàn)的神經(jīng)纖維的脈沖（有人稱它為神經(jīng)孤子）傳播，以及曾獲得1980年度列寧獎(jiǎng)金的Belousov和Krinsky等的Belousov—Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)實(shí)驗(yàn)所觸發(fā)的化學(xué)波，這一類系統(tǒng)通常稱為“激勵(lì)介質(zhì)”，它們在數(shù)學(xué)上都可用一類反應(yīng)一擴(kuò)散方程來描述。20世紀(jì)90年代以來，在實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、解析和拓?fù)涞确矫娴难芯慷既〉昧丝上驳倪M(jìn)展，其中，理論研究在國外有兩種學(xué)派，一是以美國的Winfree，Keener和Tyson等為主的奇異攝動(dòng)理論（singular perturbation theory，SPT）學(xué)派，二是以前蘇聯(lián)的Zykov，Krinsky等為主的運(yùn)動(dòng)學(xué)逼近理論（kinemaltic approach theory，，KAT）學(xué)派。在中國，以我們自己的系統(tǒng)研究為主，繼承和發(fā)揚(yáng)了美國SPT學(xué)派的思想，本書很大一部分內(nèi)容就是我們迄今為止的研究成果的總結(jié)。當(dāng)今國際上這一領(lǐng)域的研究相當(dāng)活躍，每年在Physical。Review Letter。Physica D，Physical Review E。Physical LetterA等有關(guān)非線性刊物上都有大量的新成果發(fā)表。在這一領(lǐng)域中，許多問題的研究不僅對數(shù)學(xué)工作者提出了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，而且對當(dāng)今威脅人類死亡的心臟猝死、腦癲癇病和引進(jìn)“激勵(lì)機(jī)制”的市場經(jīng)濟(jì)等都有直接的指導(dǎo)意義，也對超導(dǎo)研究和DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)有看好的應(yīng)用前景。

內(nèi)容概要

本書是第一部致力于“可激勵(lì)系統(tǒng)”理論分析的專著，全書分兩篇，共12章。上篇是激勵(lì)介質(zhì)系統(tǒng)，介紹了激勵(lì)介質(zhì)的一般知識，定性和定量地刻畫了各種波型解，如行波、平面波、脈沖波、波鏈、螺旋波、靶型波、V型波、渦卷波、渦環(huán)波，并討論了它們的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等。對組織中心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也進(jìn)行了定性和定量的刻畫。下篇為可激勵(lì)的常微分方程(ODE)系統(tǒng)，定性地分析了單個(gè)Oregonator的動(dòng)力學(xué)，討論了耦合Oregonator的同相波、反相波的性質(zhì)以及論證了Tyson分歧圖猜想。此外，還介紹了可激勵(lì)系統(tǒng)的噪聲激勵(lì)機(jī)制及相關(guān)現(xiàn)象，如隨機(jī)共振、隨機(jī)頻率鎖相等?！　”緯勺鳛楦叩仍盒W(xué)習(xí)常微分、偏微分方程的高年級學(xué)生、研究生和進(jìn)修教師的專用教材，也可作為與激勵(lì)介質(zhì)系統(tǒng)研究相關(guān)的振蕩介質(zhì)、雙穩(wěn)介質(zhì)等領(lǐng)域的科研人員的一本富有啟迪和借鑒性的參考書。

書籍目錄

《非線性動(dòng)力學(xué)叢書》序 前言 上篇 激勵(lì)介質(zhì)系統(tǒng) 　第1章 激勵(lì)介質(zhì) 　　1.1 什么是激勵(lì)介質(zhì) 　　1.2 理論模型 　　1.3 波型解的數(shù)學(xué)描述 　　1.4 實(shí)驗(yàn)報(bào)告 　　1.5 數(shù)值結(jié)果 　　1.6 數(shù)值方法 　　　1.6.1 有限差分 　　　1.6.2 元胞自動(dòng)機(jī) 　第2章 BZ反應(yīng)與Oregonator   　2.1 振蕩化學(xué)反應(yīng)與BZ反應(yīng) 　  2.2 BZ反應(yīng)的FKN機(jī)制 　　2.3 Field-Noyes模型 　　2.4 Tyson模型 　第3章 解析逼近理論 　　3.1 激勵(lì)介質(zhì)的奇異攝動(dòng)理論 　　　3.1.1 一維圖案(pattern in one-dimensional space) 　　　3.1.2 二維圖案(pattern in two space dimension) 　　　3.1.3 Eikonal方程 　　　3.1.4 Keener方程組 　　　　　3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逼近理論 　　3.3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 　　　3.3.1 渦卷波 　　　3.3.2 渦卷環(huán) 　第4章 一維非線性波的理論分析 　　4.1 Painleve分析與行波 　　　4.1.1 Painleve分析的一般化 　　　4.1.2 行波的波速及其解 　　　4.1.3 波后的位置及色散關(guān)系 　　4.2 Backlund變換和特殊顯式行波解 　　4.3 脈沖解和波鏈解 　　　4.3.1 孤脈沖解 　　　4.3.2 波鏈的漸近行為 　　　4.3.3 波鏈的穩(wěn)定性 　　4.4 一類典型激勵(lì)介質(zhì)的行波或平面波 　　4.5 擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的線性不穩(wěn)定性 　　4.6 行波的穩(wěn)定性 　　　4.6.1 分片線性的俄勒岡振子模型中的行波 　　　4.6.2 在Fife域內(nèi)的穩(wěn)定性 　　　4.6.3 一般穩(wěn)定性 　第5章 二維非線性波的理論分析 　　5.1 二維波的運(yùn)動(dòng)方程 　　5.2 平面波的存在性和穩(wěn)定性 　　　5.2.1 平面波的存在性 　　　5.2.2 波的穩(wěn)定性 　　5.3 靶型波 　　5.4 螺旋波 　　5.5 V型波 　第6章 三維非線性波的理論分析 　　6.1 三維波的運(yùn)動(dòng)方程 　　6.2 組織中心運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律 　　　6.2.1 Keener理論的回顧 　　　6.2.2 簡化形式的組織中心運(yùn)動(dòng)方程 　　　　　6.3 一封閉形式的運(yùn)動(dòng)方程 　　6.4 小振幅渦卷波的組織中心 　　　6.4.1 小振幅螺旋波的理論 　　　6.4.2 算子L和算子L+的零空間的近似基 　　　6.4.3 應(yīng)用 下篇 可激勵(lì)的ODE系統(tǒng) 　第7章 二維Oregonator的定性分析 　　7.1 正定態(tài)及其穩(wěn)定性分析 　　7.2 正定態(tài)的Hopf分歧及其分歧類型的論證 　　7.3 極限環(huán)的存在性和唯一性 　　7.4 周期解的不存在性 　　7.5 連接軌線和全局結(jié)構(gòu) 　第8章 三維Oregonator的定性分析 　第9章 耦合Oregonator的定性分析 　第10章 Echo波的存在性 　第11章 Tyson猜想 　第12章 噪聲驅(qū)動(dòng)的可激勵(lì)系統(tǒng) 后記 《非線性動(dòng)力學(xué)叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

　　首先要問什么是激勵(lì)介質(zhì)（excitable medium，EM）。簡言之就是具有“可激勵(lì)性”的介質(zhì)叫激勵(lì)介質(zhì)。自然要進(jìn)一步發(fā)問，“可激勵(lì)性”又是什么？在正式解釋前先說明一下，它所對應(yīng)的英文單詞是“excitability”。這個(gè)詞在不同的學(xué)科里有不同的譯法：物理學(xué)中叫可激發(fā)性，醫(yī)學(xué)中叫興奮性、敏感性，生理學(xué)中叫刺激反應(yīng)性。這里所指的“可激勵(lì)性”是當(dāng)介質(zhì)受到小擾動(dòng)時(shí)，介質(zhì)很快恢復(fù)到平衡態(tài)（靜態(tài)）；但當(dāng)擾動(dòng)超過某一閾值時(shí)，介質(zhì)將有一個(gè)快速又陡峭的響應(yīng)，呈現(xiàn)激發(fā)狀態(tài)，然后進(jìn)入對外界刺激抵制的不應(yīng)期，最后又回歸到局部靜息狀態(tài)，而此局部區(qū)域的激勵(lì)又是相鄰區(qū)域的有限擾動(dòng)源，故相鄰區(qū)域同樣會經(jīng)歷靜息一激發(fā)一不應(yīng)一靜息的變化過程?！　∨e一個(gè)直觀的例子。人入睡時(shí)有一個(gè)“睡眠點(diǎn)”（對應(yīng)于激勵(lì)點(diǎn)或刺激點(diǎn)），在入睡之前，人處于“休眠”范圍（quiescent range），它對外界弱的干擾不很敏感；但當(dāng)外界的干擾較強(qiáng)時(shí)，人不能入睡，進(jìn)入興奮態(tài)（激勵(lì)區(qū)域）；持續(xù)一段時(shí)間后，人進(jìn)入對外界干擾的不應(yīng)期；由于疲倦，人又會回到休眠態(tài)。具有上述性質(zhì)的系統(tǒng)稱為具有“可激勵(lì)性”，其反應(yīng)介質(zhì)稱為“激勵(lì)介質(zhì)”。因此，可激勵(lì)系統(tǒng)簡言之就是系統(tǒng)潛在的運(yùn)動(dòng)特性可被外界因素（如擴(kuò)散或噪聲的驅(qū)動(dòng)）所激勵(lì)。

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