可激勵系統(tǒng)分析的數(shù)學理論

前言

　　可激勵系統(tǒng)是指一類開放系統(tǒng)，由于局部動力學過程和擴散輸運的相互作用，會產(chǎn)生形形色色的圖案構形，或受外部噪聲等因素的驅動，其原潛在的運動狀態(tài)可以被恢復。這是在物理、化學、生物等非平衡系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象?！　偾耙活愐俗⒛康拈_創(chuàng)性工作是曾獲得1963年度諾貝爾生理醫(yī)學獎的Hod-gkin和他的學生Huxley在研究烏賊巨神經(jīng)軸突中發(fā)現(xiàn)的神經(jīng)纖維的脈沖（有人稱它為神經(jīng)孤子）傳播，以及曾獲得1980年度列寧獎金的Belousov和Krinsky等的Belousov—Zhabotinsky化學反應實驗所觸發(fā)的化學波，這一類系統(tǒng)通常稱為“激勵介質”，它們在數(shù)學上都可用一類反應一擴散方程來描述。20世紀90年代以來，在實驗、計算、解析和拓撲等方面的研究都取得了可喜的進展，其中，理論研究在國外有兩種學派，一是以美國的Winfree，Keener和Tyson等為主的奇異攝動理論（singular perturbation theory，SPT）學派，二是以前蘇聯(lián)的Zykov，Krinsky等為主的運動學逼近理論（kinemaltic approach theory，，KAT）學派。在中國，以我們自己的系統(tǒng)研究為主，繼承和發(fā)揚了美國SPT學派的思想，本書很大一部分內(nèi)容就是我們迄今為止的研究成果的總結。當今國際上這一領域的研究相當活躍，每年在Physical。Review Letter。Physica D，Physical Review E。Physical LetterA等有關非線性刊物上都有大量的新成果發(fā)表。在這一領域中，許多問題的研究不僅對數(shù)學工作者提出了嚴重的挑戰(zhàn)，而且對當今威脅人類死亡的心臟猝死、腦癲癇病和引進“激勵機制”的市場經(jīng)濟等都有直接的指導意義，也對超導研究和DNA雙螺旋結構有看好的應用前景。

內(nèi)容概要

本書是第一部致力于“可激勵系統(tǒng)”理論分析的專著，全書分兩篇，共12章。上篇是激勵介質系統(tǒng)，介紹了激勵介質的一般知識，定性和定量地刻畫了各種波型解，如行波、平面波、脈沖波、波鏈、螺旋波、靶型波、V型波、渦卷波、渦環(huán)波，并討論了它們的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等。對組織中心的運動規(guī)律也進行了定性和定量的刻畫。下篇為可激勵的常微分方程(ODE)系統(tǒng)，定性地分析了單個Oregonator的動力學，討論了耦合Oregonator的同相波、反相波的性質以及論證了Tyson分歧圖猜想。此外，還介紹了可激勵系統(tǒng)的噪聲激勵機制及相關現(xiàn)象，如隨機共振、隨機頻率鎖相等。　　本書可作為高等院校學習常微分、偏微分方程的高年級學生、研究生和進修教師的專用教材，也可作為與激勵介質系統(tǒng)研究相關的振蕩介質、雙穩(wěn)介質等領域的科研人員的一本富有啟迪和借鑒性的參考書。

書籍目錄

《非線性動力學叢書》序 前言 上篇 激勵介質系統(tǒng) 　第1章 激勵介質 　　1.1 什么是激勵介質 　　1.2 理論模型 　　1.3 波型解的數(shù)學描述 　　1.4 實驗報告 　　1.5 數(shù)值結果 　　1.6 數(shù)值方法 　　　1.6.1 有限差分 　　　1.6.2 元胞自動機 　第2章 BZ反應與Oregonator   　2.1 振蕩化學反應與BZ反應 　  2.2 BZ反應的FKN機制 　　2.3 Field-Noyes模型 　　2.4 Tyson模型 　第3章 解析逼近理論 　　3.1 激勵介質的奇異攝動理論 　　　3.1.1 一維圖案(pattern in one-dimensional space) 　　　3.1.2 二維圖案(pattern in two space dimension) 　　　3.1.3 Eikonal方程 　　　3.1.4 Keener方程組 　　　　　3.2 運動學逼近理論 　　3.3 拓撲結構 　　　3.3.1 渦卷波 　　　3.3.2 渦卷環(huán) 　第4章 一維非線性波的理論分析 　　4.1 Painleve分析與行波 　　　4.1.1 Painleve分析的一般化 　　　4.1.2 行波的波速及其解 　　　4.1.3 波后的位置及色散關系 　　4.2 Backlund變換和特殊顯式行波解 　　4.3 脈沖解和波鏈解 　　　4.3.1 孤脈沖解 　　　4.3.2 波鏈的漸近行為 　　　4.3.3 波鏈的穩(wěn)定性 　　4.4 一類典型激勵介質的行波或平面波 　　4.5 擴散驅動的線性不穩(wěn)定性 　　4.6 行波的穩(wěn)定性 　　　4.6.1 分片線性的俄勒岡振子模型中的行波 　　　4.6.2 在Fife域內(nèi)的穩(wěn)定性 　　　4.6.3 一般穩(wěn)定性 　第5章 二維非線性波的理論分析 　　5.1 二維波的運動方程 　　5.2 平面波的存在性和穩(wěn)定性 　　　5.2.1 平面波的存在性 　　　5.2.2 波的穩(wěn)定性 　　5.3 靶型波 　　5.4 螺旋波 　　5.5 V型波 　第6章 三維非線性波的理論分析 　　6.1 三維波的運動方程 　　6.2 組織中心運動的一般規(guī)律 　　　6.2.1 Keener理論的回顧 　　　6.2.2 簡化形式的組織中心運動方程 　　　　　6.3 一封閉形式的運動方程 　　6.4 小振幅渦卷波的組織中心 　　　6.4.1 小振幅螺旋波的理論 　　　6.4.2 算子L和算子L+的零空間的近似基 　　　6.4.3 應用 下篇 可激勵的ODE系統(tǒng) 　第7章 二維Oregonator的定性分析 　　7.1 正定態(tài)及其穩(wěn)定性分析 　　7.2 正定態(tài)的Hopf分歧及其分歧類型的論證 　　7.3 極限環(huán)的存在性和唯一性 　　7.4 周期解的不存在性 　　7.5 連接軌線和全局結構 　第8章 三維Oregonator的定性分析 　第9章 耦合Oregonator的定性分析 　第10章 Echo波的存在性 　第11章 Tyson猜想 　第12章 噪聲驅動的可激勵系統(tǒng) 后記 《非線性動力學叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

　　首先要問什么是激勵介質（excitable medium，EM）。簡言之就是具有“可激勵性”的介質叫激勵介質。自然要進一步發(fā)問，“可激勵性”又是什么？在正式解釋前先說明一下，它所對應的英文單詞是“excitability”。這個詞在不同的學科里有不同的譯法：物理學中叫可激發(fā)性，醫(yī)學中叫興奮性、敏感性，生理學中叫刺激反應性。這里所指的“可激勵性”是當介質受到小擾動時，介質很快恢復到平衡態(tài)（靜態(tài)）；但當擾動超過某一閾值時，介質將有一個快速又陡峭的響應，呈現(xiàn)激發(fā)狀態(tài)，然后進入對外界刺激抵制的不應期，最后又回歸到局部靜息狀態(tài)，而此局部區(qū)域的激勵又是相鄰區(qū)域的有限擾動源，故相鄰區(qū)域同樣會經(jīng)歷靜息一激發(fā)一不應一靜息的變化過程?！　∨e一個直觀的例子。人入睡時有一個“睡眠點”（對應于激勵點或刺激點），在入睡之前，人處于“休眠”范圍（quiescent range），它對外界弱的干擾不很敏感；但當外界的干擾較強時，人不能入睡，進入興奮態(tài)（激勵區(qū)域）；持續(xù)一段時間后，人進入對外界干擾的不應期；由于疲倦，人又會回到休眠態(tài)。具有上述性質的系統(tǒng)稱為具有“可激勵性”，其反應介質稱為“激勵介質”。因此，可激勵系統(tǒng)簡言之就是系統(tǒng)潛在的運動特性可被外界因素（如擴散或噪聲的驅動）所激勵。

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