數(shù)學(xué)分析

前言

　　數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)各專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，其重要性不言而喻，我們根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，在吸取一些現(xiàn)有教材優(yōu)點的基礎(chǔ)上，編寫了本書?！　‖F(xiàn)有的各種數(shù)學(xué)分析教材都有其優(yōu)點和缺點，本書力求在可讀性、系統(tǒng)性和邏輯性上能具有特色，并將分層教學(xué)的理念貫穿全書?！　∈紫龋诳勺x性方面，對于重要概念只給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習(xí)題中，例如，對數(shù)列極限，本書只引入了ε-N定義，目的是希望學(xué)生能吃透這個概念；數(shù)列極限的另一個等價定義放在習(xí)題中，方便基礎(chǔ)較好的學(xué)生學(xué)習(xí)，對定理的證明，盡量采用樸素的方法進(jìn)行，對書中的例題，表達(dá)盡量詳細(xì)，讓學(xué)生容易自學(xué)，對某些定理采取先用后證的方法講述，例如，在第7章，先給出區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這個結(jié)論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給出閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)必定在［a，b］上可積這個結(jié)論，這樣可以使定積分的計算提前，然后在第8章后面再證明這兩個存在性定理?！　∑浯?，在系統(tǒng)性方面，將關(guān)系較密切的內(nèi)容放在一起，例如，將發(fā)散數(shù)列和子列的概念放在同一節(jié)，將判別數(shù)列收斂的各種方法放在同一節(jié)，將定積分的應(yīng)用與反常積分放在同一章，將各種情況下的Fourier級數(shù)和Fourier級數(shù)展開放在同一節(jié)，將第一型曲線積分、曲面積分和第二型曲線積分、曲面積分放在同一章，將各種積分之間的關(guān)系放在同一章等，另外，有理函數(shù)分解為部分分式的理論，國內(nèi)的數(shù)學(xué)分析教材幾乎都將其證明歸到高等代數(shù)課程中，而高等代數(shù)教材也不寫這部分內(nèi)容，為了彌補(bǔ)這一缺陷，在本書的第7章中，將給出有理函數(shù)分解為部分分式理論的詳細(xì)證明，方便教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)?！　≡俅危谶壿嬓苑矫?，考慮到可讀性的同時，盡量在給出定理的同時也完成對定理的證明，例如，將致密性定理放在第1章，這樣數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則在第1章就可以證明，使得第1章對數(shù)列有較完整的處理；然后在第3章就可以完成閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明；第6章就只需講區(qū)間套定理、有限覆蓋定理及其應(yīng)用等，這樣難點也分散了，在導(dǎo)數(shù)與微分部分，先講微分，后講導(dǎo)數(shù)，強(qiáng)調(diào)微分的作用，這樣在后面講定積分的微元法時，我們將給出微元法的理論依據(jù)。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)分析（2）》介紹了數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理淪和方法，包括一元（多元） 函數(shù)極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、級數(shù)理論和多元函數(shù)微積分學(xué)等。全書共分三冊。本冊內(nèi)容包括不定積分、定積分、定積分應(yīng)用和反常積分、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)與Fourier級數(shù)?！稊?shù)學(xué)分析（2）》在內(nèi)容的安排上深入淺出，表達(dá)清楚，系統(tǒng)性和邏輯性強(qiáng)。書中列舉了大量例題來說明數(shù)學(xué)分析的定義、定理及方法，并提供了豐富的思考題和習(xí)題，便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。每章末都有小結(jié)，對該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié)，并配有復(fù)習(xí)題，方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)。　　《數(shù)學(xué)分析（2）》可作為高等師范院校數(shù)學(xué)各專業(yè)學(xué)生的教學(xué)用書，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和科技工作者參考。

書籍目錄

第7章 不定積分7.1 原函數(shù)與不定積分的概念7.1.1 原函數(shù)和不定積分的定義7.1.2 運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式7.2 不定積分的計算7.2.1 換元法求不定積分7.2.2 分部法求不定積分7.3 有理函數(shù)的不定積分*7.3.1 有理函數(shù)的部分分式分解7.3.2 有理函數(shù)的不定積分7.3.3 三角函數(shù)有理式的不定積分7.3.4 某些無理根式的不定積分小結(jié)復(fù)習(xí)題第8章 定積分8.1 定積分的概念與性質(zhì)8.1.1 引例與定義8.1.2 定積分的性質(zhì)8.2 微積分基本定理8.2.1 變上限積分的定義與性質(zhì)8.2.2 微積分基本定理8.3 定積分的計算8.3.1 換元法求定積分8.3.2 分部法求定積分8.4 定積分存在的條件8.4.1 達(dá)布和的定義*8.4.2 上和與下和的性質(zhì)8.4.3 可積的充要條件8.4.4 可積函數(shù)類8.5 積分中值定理8.5.1 積分第一中值定理*8.5.2 積分第二中值定理小結(jié)復(fù)習(xí)題第9章 定積分應(yīng)用和反常積分9.1 定積分應(yīng)用的兩種常用格式9.2 平面圖形的面積9.2.1 直角坐標(biāo)情形9.2.2 參數(shù)方程情形9.2.3 極坐標(biāo)情形9.3 由平行截面面積求體積9.3.1 由平行截面面積計算體積9.3.2 旋轉(zhuǎn)體體積9.4 平面曲線的弧長9.4.1 平面曲線弧長的概念9.4.2 平面曲線弧長的計算9.5 旋轉(zhuǎn)曲面的面積9.5.1 旋轉(zhuǎn)曲面面積的概念9.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算*9.6 定積分在某些物理問題中的應(yīng)用9.6.1 變力做功9.6.2 壓力9.6.3 力矩與重心9.7 反常積分的概念與基本性質(zhì)9.7.1 反常積分的概念與統(tǒng)一定義9.7.2 反常積分的基本性質(zhì)9.8 反常積分的斂散性9.8.1 反常積分的Cauchy收斂準(zhǔn)則9.8.2 反常積分的絕對收斂與條件收斂9.8.3 反常積分的比較判別法9.8.4 Dirichlet判別法與Abel判別法小結(jié)復(fù)習(xí)題第10章 數(shù)項級數(shù)10.1 數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)10.1.1 數(shù)項級數(shù)的概念10.1.2 級數(shù)的Cauchy收斂準(zhǔn)則10.1.3 級數(shù)的基本性質(zhì)10.2 正項級數(shù)10.2.1 正項級數(shù)收斂性的一般判別法10.2.2 根值法與比值法*10.2.3 其他判別法10.3 一般項級數(shù)10.3.1 絕對收斂與條件收斂10.3.2 交錯級數(shù)10.3.3 Dirichlet判別法和Abel判別法*10.4 絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的性質(zhì)10.4.1 收斂級數(shù)的可結(jié)合性10.4.2 收斂級數(shù)的重排10.4.3 級數(shù)的乘積小結(jié)復(fù)習(xí)題第11章 函數(shù)項級數(shù)11.1 函數(shù)列一致收斂的概念與判定11.1.1 逐點收斂與一致收斂的概念11.1.2 函數(shù)列一致收斂的判定11.2 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)11.3 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念及其判定11.3.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念11.3.2 一致收斂的判別法11.4 和函數(shù)的分析性質(zhì)*11.5 處處不可微的連續(xù)函數(shù)小結(jié)復(fù)習(xí)題第12章 冪級數(shù)與Fourier級數(shù)12.1 冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)12.1.1 冪級數(shù)的定義和收斂域12.1.2 冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)12.1.3 冪級數(shù)的運(yùn)算12.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開12.2.1 Taylor級數(shù)與余項公式12.2.2 幾個常用的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開12.3 三角級數(shù)與Fourier級數(shù)12.3.1 三角級數(shù)的概念12.3.2 以2π為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)12.3.3 以21為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)12.3.4 任意區(qū)間[a，b]上的Fourier級數(shù)12.4 Fourier級數(shù)的收斂性12.4.1 Fourier級數(shù)的收斂判別法*12.4.2 Dirichlet積分*12.4.3 Riemann引理與Fourier級數(shù)收斂判別法的證明*12.4.4 Fourier級數(shù)的分析性質(zhì)*12.4.5 Fourier級數(shù)的平方平均收斂小結(jié)復(fù)習(xí)題習(xí)題答案或提示參考文獻(xiàn)附錄 不定積分表索引

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