小波分析原理

前言

　　小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)學(xué)分支。除在數(shù)學(xué)學(xué)科本身中的價值外，小波分析在許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。因而，小波分析的理論與方法受到了極大的關(guān)注，相關(guān)書籍也陸續(xù)出版，不少大學(xué)的一些專業(yè)，包括非數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生、本科生都將其作為選修或必修課程?！　‖F(xiàn)在，小波分析的基本理論正趨成熟，進(jìn)入一個需要提煉和精化的階段?！　∫M(jìn)行這項工作，我們首先遇到的是概念問題。成熟的數(shù)學(xué)內(nèi)容要求所涉及的概念必須明確，許多概念用定義給出，不能用定義表示的概念也盡量使其符號化。但對小波分析而言，實際應(yīng)用（指數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外的應(yīng)用）伴隨小波分析產(chǎn)生與發(fā)展的全過程，許多研究小波分析的學(xué)者甚至不屬于數(shù)學(xué)專業(yè)，小波分析創(chuàng)始人之一的Morlet就是從事石油勘探信號處理的地球物理學(xué)家。因此，小波分析涉及的一些重要概念不是按照數(shù)學(xué)規(guī)律得到的，比如濾波、濾波器，原為物理學(xué)的概念，蘊含著處理波、函數(shù)和信息的方法與過程。不對后者有所了解，即使這些概念可以寫做定義，看了也不能明白。概念問題需要我們給出合適的解決辦法，否則必然嚴(yán)重影響讀者對內(nèi)容的掌握?！　∮捎诒仨毧紤]小波分析的實際應(yīng)用功能，所以應(yīng)該讓讀者明白為什么小波分析能解決實際問題。換言之，應(yīng)該讓讀者明白小波分析處理問題的原理。例如，用小波可以進(jìn)行信號的消噪、圖形和物體的邊緣檢測和輪廓與細(xì)節(jié)的提取，而這些作用實際上是濾波的翻版。稱小波為數(shù)學(xué)中的望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡，也是對小波具有濾波作用的形象描述。但是，小波為什么和怎樣起濾波的作用，從哪里看出小波是數(shù)學(xué)中的望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡？這些原理性問題都需要徹底搞清楚?！　√釤捄途R的方式有多種，但考慮到小波分析要為不同專業(yè)的學(xué)者服務(wù)，我們的提煉原則應(yīng)該是：①從浩瀚的資料中選取發(fā)展最成熟、應(yīng)用最有效的部分；②盡量采用淺顯的研究方法。例如，同屬小波分析系統(tǒng)的脊波、剪切波等還未發(fā)展成熟，不應(yīng)選取。再如，許多小波分析研究文獻(xiàn)中出現(xiàn)的z變換，由復(fù)分析中Laurent級數(shù)f即洛朗級數(shù)）給出，數(shù)學(xué)專業(yè)以外的人士難以接受，利用z變換進(jìn)行討論的方法不宜采用。

內(nèi)容概要

本書包括小波變換、一元多分辨分析與正交小波、緊支集實小波、小波包、多元小波、雙正交小波、樣條小波、小波提升理論等發(fā)展較為成熟的小波分析基本內(nèi)容。本書講解透徹，證明細(xì)致，特別關(guān)注小波分析解決實際問題的原理?！　”緯灰笞x者具有高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可供希望了解小波分析基本內(nèi)容及原理的讀者參考，也可作為研究生與高年級本科生的小波分析教材使用。

書籍目錄

前言 第1章 緒論 　1.1 相關(guān)數(shù)學(xué)概念與知識 　　1.1.1 空間LP(R) 　　1.1.2 LP(R)中函數(shù)性態(tài)與函數(shù)的伸縮平移 　　1.1.3 內(nèi)積空間中的正交及相關(guān)問題 　　1.1.4 賦范線性空間中的閉集等概念 　　1.1.5 和式變換與積分變換技巧 　1.2 Fourier級數(shù) 　　1.2.1 Fourier級數(shù)的點態(tài)收斂 　　1.2.2 Fourier級數(shù)的平均收斂 　　1.2.3 Fourier級數(shù)的幾種表述方式 　　1.2.4 關(guān)于Fourier級數(shù)的幾個問題 　1.3 Fourier變換 　　1.3.1 Fourier變換與反演公式 　　1.3.2 Fourier變換的性質(zhì) 　　1.3.3 Fourier級數(shù)與Fourier變換的對比 　　1.3.4 時—頻窗與測不準(zhǔn)原理 　　1.3.5 窗口Fourier變換 　　1.3.6 Fourier變換的不同定義與多元Fourier變換 　1.4 采樣定理與濾波 　　1.4.1 采樣定理 　　1.4.2 濾波的數(shù)學(xué)表示 　　1.4.3 根據(jù)采樣值對信號進(jìn)行濾波 　　1.4.4 濾波器響應(yīng)函數(shù)與濾波器 　　1.4.5 關(guān)于濾波的聯(lián)想 第2章 小波變換及其應(yīng)用 　2.1 小波變換 　　2.1.1 一元小波變換與反演公式 　　2.1.2 小波變換的意義 　　2.1.3 多元小波變換 　2.2 小波變換的應(yīng)用 　　2.2.1 利用小波變換進(jìn)行濾波 　　2.2.2 利用小波變換進(jìn)行信號的邊界提取 第3章 一元多分辨分析與正交小波 　3.1 一元多分辨分析 　　3.1.1 子空間Vi與多分辨分析 　　3.1.2 尺度函數(shù)φ 　　3.1.3 尺度方程 　　3.1.4 子空間Wi 　　3.1.5 小波Ψ 　3.2 濾波器響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用 　　3.2.1 濾波器響應(yīng)函數(shù)H，G的構(gòu)造及性質(zhì) 　　3.2.2 小波分析主要定理的證明 　　3.2.3 由尺度函數(shù)構(gòu)造多分辨分析 　3.3 濾波器的作用——Mallat算法 　　3.3.1 低通與高通 　　3.3.2 分解算法 　　3.3.3 重構(gòu)算法 　3.4 小波的正則性與消失矩 　　3.4.1 正則性 　　3.4.2 消失矩 　　3.4.3 正則性與消失矩的關(guān)系 　3.5 小波為數(shù)學(xué)中的望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡 第4章 緊支集實小波 　4.1 尺度方程中和式項數(shù)有限時的相關(guān)問題 　　4.1.1 尺度方程的形式 　　　　4.1.2 尺度函數(shù)與小波值的逼近計算 　4.2 緊支集實小波的構(gòu)造 　　4.2.1 相關(guān)預(yù)備知識 　　4.2.2 緊支集實小波的構(gòu)造 　4.3 緊支集實小波的分解與重構(gòu)算法 　　4.3.1 Mallat算法 　　4.3.2 抽樣值算法 第5章 小波包分析 第6章 多元小波 第7章 雙正交小波分析 第8章 樣條小波  第9章 雙正交小波提升理論 參考文獻(xiàn) 索引

章節(jié)摘錄

　　本章1.1節(jié)介紹本書涉及的部分?jǐn)?shù)學(xué)概念與知識。1.2節(jié)介紹Fourier·級數(shù)，主要考慮Fourier級數(shù)理論中與以后介紹的小波級數(shù)有聯(lián)系的內(nèi)容，討論Fourier級數(shù)的點態(tài)收斂、平均收斂與幾種表述方式，試解釋引入小波級數(shù)的原因。1.3節(jié)介紹Fourier變換。小波分析理論離不開.Fourier變換，F(xiàn)ourier變換與小波變換也有很好的對應(yīng)關(guān)系。此節(jié)內(nèi)容有：Fourier變換、逆變換與反演公式，F(xiàn)ourier變換的性質(zhì)，F(xiàn)ourier級數(shù)與：Fourier變換的對比，時一頻窗、測不準(zhǔn)原理，窗口Fourier變換，F(xiàn)ourier變換的不同定義與多元Fourier變換。1.4節(jié)介紹采樣定理與濾波器。本節(jié)介紹的采樣定理、濾波的數(shù)學(xué)表示，根據(jù)采樣值對信號進(jìn)行濾波，濾波器響應(yīng)函數(shù)與濾波器等內(nèi)容，除了本身的價值外，與小波分析理論中的相關(guān)內(nèi)容對應(yīng)，是小波分析中一些重要概念與方法的來源，是理解利用小波可以進(jìn)行濾波的原理的重要先導(dǎo)。

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