調(diào)和分析基礎(chǔ)教程

前言

　　本書是為高年級本科生和低年級研究生寫的調(diào)和分析入門書，調(diào)和分析的所有主要思想在引入中并沒有太多的復(fù)雜技術(shù)，例如，本書完全基于Riemann積分以代替所需的Lebesgue積分，此外，所有拓?fù)鋯栴}都完全在度量空間中處理，這項工作是十分令人驚奇的，實(shí)際上，它表明這個美妙的中心思想和有用的理論完全可以運(yùn)用很少的技術(shù)背景來闡述?！　”緯谝粋€目的是簡單介紹Fourier分析，導(dǎo)出Poisson求和公式，第二個目的是使讀者認(rèn)識到體現(xiàn)Fourier理論最重要的兩個概念：Fourier級數(shù)和Fourier變換，是產(chǎn)生于局部緊Abel群上更一般理論的特殊情況，本書第三個目的是介紹應(yīng)用于非交換群的調(diào)和分析中的技巧，這些技巧通過以矩陣群作為主要例子來描述?！　”緯谝徊糠痔幚鞦ourier分析，第1章從Fourier級數(shù)理論的基本論述開始，直至L2完備性，在第2章，此結(jié)論通過Hilbert空間重新論述，而Hilbert空間的基本理論也呈現(xiàn)在本章，第3章處理：Fourier變換，集中在逆定理和Plancherel定理，并且將Fourier級數(shù)理論與Fourier變換結(jié)合于最有用的Poisson求和公式中，最后，分布在第4章導(dǎo)出，如沒有這個推廣經(jīng)典函數(shù)空間的思想，現(xiàn)代分析是不可想象的。　　本書第二部分致力于推廣Fourier分析思想到局部緊Abel群（簡記為LcA群）上，在介紹性的第5章中，整個理論以有限Abel群作為基本模型而展開，一般的結(jié)構(gòu)在第6章通過介紹LCA群的概念給出，一部分拓?fù)湟苍谶@個階段給出，第7章處理Pontryagin對偶性，證明了對偶仍然是LCA群，同時給出了對偶定理，最后，通過第8章的Plancherel定理結(jié)束第二部分，該定理是：Fourier級數(shù)完備性的推廣，正如直線上的Plancherel定理一樣，　　本書第三部分希望給讀者非交換調(diào)和分析領(lǐng)域的初步印象，第9章介紹的方法應(yīng)用于矩陣群的分析中，諸如指數(shù)級數(shù)理論和Lie代數(shù)，運(yùn)用這些方法，在第10章得到了群SU（2）的表示的分類，在第11章給出了Peter-Weyl定理，它在緊非交換群的范疇中推廣了Fourier級數(shù)的完備性，也給出了正則表示作為不可約的直和分解，在第12章，以Heisenberg群為例描述了非緊非交換群的理論，一般地，正則表示分解為直積分而不是直和。

內(nèi)容概要

本書是一本調(diào)和分析的入門書，全書分為三部分，首先，給出了直線R上的Fourier分析理論，包括Fourier級數(shù)和Fourier變換；接著，將R上的Fourier分析思想推廣到局部緊Abel群（LCA群）上；最后，介紹了非交換群上調(diào)和分析技巧，特別地，以Heisenberg群為例描述了非緊非交換群上的Fourier分析理論，每章后都配備了一定數(shù)量的習(xí)題，可作為本書內(nèi)容的補(bǔ)充或延伸。　　本書可作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級本科生的選修課教材和相關(guān)專業(yè)碩士研究生的基礎(chǔ)課教材，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和研究人員參考選用。

書籍目錄

第二版前言各章間的關(guān)系及數(shù)集的記號第一部分 Fourier分析　第1章 Fourier級數(shù)　　1.1 周期函數(shù)　　1.2 指數(shù)　　1.3 Bessel不等式　　1.4 依L2范數(shù)收斂　　1.5 Fourier級數(shù)的一致收斂　　1.6 回到周期函數(shù)　　1.7 習(xí)題　第2章 Hilbert空間　　2.1 準(zhǔn)Hilbert和Hilbert空間　　2.2 12空間　　2.3 正交基和完備化　　2.4 回到Fourier級數(shù)　　2.5 習(xí)題　第3章 Fourier變換　　3.1 收斂定理　　3.2 卷積　　3.3 變換　　3.4 反演公式　　3.5 Plancherel定理　　3.6 Poisson求和公式　　3.7 e級數(shù)　　3.8 習(xí)題　第4章 分布　　4.1 定義　　4.2 分布的導(dǎo)數(shù)　　4.3 緩增分布　　4.4 Fourier變換　　4.5 習(xí)題第二部分 LCA群　第5章 有限Abel群　　5.1 對偶群　　5.2 Fourier變換　　5.3 卷積　　5.4 習(xí)題　第6章 LCA群　　6.1 度量空間和拓?fù)洹　?.2 完備化　　6.3 LCA群　　6.4 題　第7章 對偶群　　7.1 LCA群的對偶　　7.2 Pontryagin對偶性　　7.3 題　第8章 Plancherel定理　　8.1 Haar積分　　8.2 Fubini定理　　8.3 卷積　　8.4 Plancherel定理　　8.5 習(xí)題第三部分 非交換群　第9章 矩陣群　　9.1 GLn（C）和U（n）　　9.2 表示　　9.3 指數(shù)　　9.4 習(xí)題　第10章 SU（2）的表示　　10.1 Lie代數(shù)　　10.2 表示　　10.3 習(xí)題　第11章 Peter-Weyl定理　　11.1 表示的分解　　11.2 Horn（Vγ，Vπ）上的表示　　11.3 Peter-Weyl定理　　11.4 重新論述　　11.5 習(xí)題　第12章 Heisenberg群　　12.1 定義　　12.2 酉對偶　　12.3 Hilbert-Schmidt算子　　12.4 H上的Plancherel定理　　12.5 再次論述　　12.6 習(xí)題參考文獻(xiàn)附錄A Riemannξ函數(shù)附錄B Haar積分索引《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書目

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