交換代數(shù)引論

前言

　　交換代數(shù)與代數(shù)幾何的關(guān)系被類(lèi)比于微積分與微分幾何的關(guān)系，現(xiàn)代概型上的代數(shù)幾何都是以交換代數(shù)為基礎(chǔ)的，交換代數(shù)是學(xué)習(xí)代數(shù)幾何的必經(jīng)之路，交換代數(shù)的重要性還不僅于此，交換代數(shù)也與代數(shù)數(shù)論有著密切的聯(lián)系，當(dāng)然，交換代數(shù)作為研究交換環(huán)及其理想的理論有著自身的重要意義，另一方面，近年來(lái)，因交換代數(shù)在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用而產(chǎn)生了組合交換代數(shù)，這為交換代數(shù)帶來(lái)了新的活力?！　〗粨Q代數(shù)的經(jīng)典之作無(wú)疑是M.F.Atiyah和I.G.MacDonald的.Introduction toCommutative Alqebra及H.Matsumura的Commutative Algebro作者正是從學(xué)習(xí)這兩本書(shū)進(jìn)入交換代數(shù)研究領(lǐng)域的.在編寫(xiě)本書(shū)時(shí)，作者試圖處理好兩個(gè)問(wèn)題：一是怎樣以盡量小的篇幅講述交換代數(shù)的基本內(nèi)容，這里需要特別注意的是如何避開(kāi)或盡量少用同調(diào)代數(shù)的知識(shí)，因?yàn)槿艏尤胪{(diào)代數(shù)的內(nèi)容，勢(shì)必篇幅太長(zhǎng)且沖淡主題；二是怎樣把交換代數(shù)的看似抽象的內(nèi)容賦予幾何意義，因?yàn)榻粨Q代數(shù)中的內(nèi)容在代數(shù)幾何中都是有深刻的幾何背景的。　　作者研究交換代數(shù)多年，根據(jù)自己對(duì)交換代數(shù)的理解，選擇編排了本書(shū)的內(nèi)容，在本科抽象代數(shù)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充少量的同調(diào)代數(shù)的知識(shí)，講述了交換代數(shù)的最基本的內(nèi)容，在講解交換代數(shù)的概念時(shí)，我們把代數(shù)幾何中與之相關(guān)的概念對(duì)應(yīng)起來(lái)討論，例如，把理想的準(zhǔn)素分解與代數(shù)集的分解相對(duì)應(yīng)，把交換環(huán)的維數(shù)與代數(shù)集的維數(shù)相對(duì)應(yīng)，把局部環(huán)的重復(fù)度與代數(shù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的重復(fù)度相對(duì)應(yīng)，通過(guò)這樣的對(duì)比討論，把幾何的背景引了進(jìn)來(lái)，不僅有利于對(duì)交換代數(shù)概念的理解，而且也使讀者接觸了代數(shù)幾何中的一些基本概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)幾何打下一點(diǎn)基礎(chǔ)。　　本書(shū)可作為本科生或研究生的每周3課時(shí)的一學(xué)期選修課的教材或參考書(shū)。　　限于作者的水平，本書(shū)一定會(huì)有許多不足之處，敬請(qǐng)讀者提出寶貴意見(jiàn)。

內(nèi)容概要

本書(shū)在本科抽象代數(shù)課程的基礎(chǔ)上講述了交換代數(shù)的基本且重要的Hilbert基定理、Hilbert零點(diǎn)定理、理想的準(zhǔn)素分解、相伴素理想、維數(shù)、重復(fù)度等內(nèi)容。同時(shí)，對(duì)應(yīng)地討論了代數(shù)集的基本性質(zhì)、代數(shù)集的分解和維數(shù)、代數(shù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的奇異性質(zhì)等。另外，還討論了離散賦值環(huán)、CohenMacaulay環(huán)和正則局部環(huán)。    本書(shū)可作為本科生或研究生的交換代數(shù)和代數(shù)幾何課程的入門(mén)教材或參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

預(yù)備知識(shí)　習(xí)題第1章　多元多項(xiàng)式環(huán)與代數(shù)集  1.1　多元多項(xiàng)式環(huán)  1.2　代數(shù)曲線(xiàn)  1.3　代數(shù)集  習(xí)題第2章　Noether環(huán)  2.1　Noether模和Artin模的基本性質(zhì)  2.2　Hilbert基定理  2.3　Hilbert零點(diǎn)定理  2.4　局部化  習(xí)題第3章  代數(shù)集的分解與理想的準(zhǔn)素分解  3.1　代數(shù)集的分解  3.2　理想的準(zhǔn)素分解  3.3　相伴素理想  習(xí)題第4章　維數(shù)  4.1　分次環(huán)與Hilbert多項(xiàng)式  4.2　代數(shù)集的維數(shù)  4.3　Noether環(huán)的維數(shù)  4.4　離散賦值環(huán)  習(xí)題第5章　重復(fù)度與代數(shù)曲線(xiàn)的局部性質(zhì)　5.1　重復(fù)度　5.2　代數(shù)曲線(xiàn)的局部環(huán)　5.3　代數(shù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的奇異性質(zhì)　習(xí)題第6章　Cohen-Macaulay環(huán)與正則局部環(huán)  6.1　正則序列與深度  6.2　Cohen-Macaulay環(huán)  6.3　正則局部環(huán)  習(xí)題習(xí)題解答參考文獻(xiàn)

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