概率論基礎(chǔ)

前言

　　概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的學(xué)科。它在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和管理科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。因此從20世紀(jì)30年代以來，發(fā)展甚為迅速，新的分支學(xué)科不斷涌現(xiàn)，成為近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的嚴(yán)格理論是以測(cè)度論為基礎(chǔ)的。為了適應(yīng)這方面需要，曾經(jīng)（或?qū)⒁┏霭嬉恍y(cè)度論的書籍。這當(dāng)然都是很必要的。但是在我們的教學(xué)實(shí)踐中深深感到，有些學(xué)過概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)課而想繼續(xù)自學(xué)深造的讀者，在學(xué)了測(cè)度論以后，常常不能運(yùn)用自如地將它用來處理概率論的基礎(chǔ)問題。還有，一些有關(guān)多維隨機(jī)變量的內(nèi)容很多書籍認(rèn)為和一維處理方法類似，只是述而不證，實(shí)際上在某些重要的細(xì)節(jié)方面還是有所不同的，讀者在這些方面也難于獲得參考材料。因此，我們認(rèn)為，為了闡明這些問題并使學(xué)生在學(xué)習(xí)測(cè)度論時(shí)能更好地明確目的性。編寫一本用測(cè)度論的觀點(diǎn)論述概率論的書，對(duì)概率論專業(yè)的教師和學(xué)生來說，也許是有參考意義的?！　”緯哪康脑谟谙蚰切┮褜W(xué)過相當(dāng)于大學(xué)概率論基礎(chǔ)課而希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論的讀者提供一個(gè)基礎(chǔ)讀物。它包括了近代概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所必需的測(cè)度論內(nèi)容、近代概率論的基本概念、工具及其性質(zhì)的嚴(yán)格論述，特別是條件概率、條件數(shù)學(xué)期望、條件分布及多元特征函數(shù)，其中有些內(nèi)容可能是新的。此外在保持測(cè)度論的系統(tǒng)的同時(shí)，還特別注意了應(yīng)用測(cè)度論來嚴(yán)格處理大學(xué)概率論基礎(chǔ)課中所沒有講清楚的問題。對(duì)于多元隨機(jī)變量的分布、特征函數(shù)及其有關(guān)性質(zhì)也作了嚴(yán)格的處理。本書的預(yù)備知識(shí)是大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)及復(fù)變函數(shù)論。為便于自學(xué)，本書對(duì)概念的闡釋和推理的敘述都比較詳細(xì)。　　本書的初稿是60年代我和王雋驤同志講授概率選修課時(shí)合寫的講義的一部分。這次由我和劉秀芳同志進(jìn)行了討論，由劉秀芳同志執(zhí)筆，對(duì)講義進(jìn)行全面的整理與修改，并在全國師范院校概率統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)會(huì)議以及北京師范大學(xué)79屆的概率論研究生及進(jìn)修教師班上講授過。

內(nèi)容概要

本書用測(cè)度論的觀點(diǎn)論述概率論的基本概念，如概率、隨機(jī)變量與分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望與條件數(shù)學(xué)期望和中心極限定理等。本書特點(diǎn)是把測(cè)度論的基本內(nèi)容與概率論的基本內(nèi)容結(jié)合在一起講述，論述嚴(yán)謹(jǐn)，條理清楚，便于自學(xué)。凡學(xué)過概率論基礎(chǔ)課的讀者都能閱讀本書。每節(jié)后面附有習(xí)題，以便加深理解書中的內(nèi)容。    讀者對(duì)象是大學(xué)數(shù)學(xué)系高年級(jí)學(xué)生、研究生、教師及科學(xué)工作者。

書籍目錄

《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序再版前言序言第1章  概率與測(cè)度  §1.1  引言  §1.2  事件與集合  §1.3  集類與單調(diào)類定理  §1.4  集函數(shù)、測(cè)度與概率  §1.5  測(cè)度擴(kuò)張定理及測(cè)度的完全化  §1.6  獨(dú)立事件類第2章  隨機(jī)變量與可測(cè)函數(shù)、分布函數(shù)與Lebesgue-Stieltjes測(cè)度  §2.1  隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的直觀背景  §2.2  隨機(jī)變量與可測(cè)函數(shù)  §2.3  分布函數(shù)  §2.4  獨(dú)立隨機(jī)變量  §2.5  隨機(jī)變量序列的收斂性第3章  數(shù)學(xué)期望與積分  §3.1  引言  §3.2  積分的定義和性質(zhì)  §3.3  收斂定理  §3.4  隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的L-S積分表示與積分變換定理  §3.5  離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量  §3.6  γ次平均收斂與空間Lγ  §3.7  不定積分與σ-可加集函數(shù)的分解第4章  乘積測(cè)度空間  §4.1  有限維乘積測(cè)度  §4.2  Fubini定理  §4.3  無窮乘積概率空間第5章  條件概率與條件數(shù)學(xué)期望  §5.1  初等情形  §5.2  給定σ-代數(shù)下條件期望與條件概率的定義和性質(zhì)  §5.3  給定函數(shù)下的條件數(shù)學(xué)期望  §5.4  轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移測(cè)度  §5.5  正則條件概率、條件分布及Кологоров和諧定理第6章  特征函數(shù)及其初步應(yīng)用  §6.1  特征函數(shù)的定義及初等性質(zhì)  §6.2  逆轉(zhuǎn)公式及唯一性定理  §6.3  L-S測(cè)度的弱收斂  §6.4  特征函數(shù)極限定理  §6.5  特征函數(shù)的非負(fù)定性第7章  獨(dú)立隨機(jī)變量和  §7.1  0-1律  §7.2  三級(jí)數(shù)定理與Кологоров加強(qiáng)大數(shù)律第8章  中心極限定理  §8.1  問題的提出  §8.2  中心極限定理一一具有有界方差情形  §8.3  中心極限定理一般結(jié)果簡(jiǎn)介參考文獻(xiàn)符號(hào)索引內(nèi)容索引《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

　　第1章 概率與測(cè)度　　本章將在回顧概率概念的實(shí)際背景的基礎(chǔ)上，給出概率與測(cè)度的定義；討論今后常用到的一些集類（半集代數(shù)、集代數(shù)、σ-代數(shù)等）的基本性質(zhì)；討論測(cè)度的性質(zhì)及測(cè)度擴(kuò)張問題；最后討論獨(dú)立事件類的擴(kuò)張問題?！　ˇ?.1 引言概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)?！≡诟鞣N自然科學(xué)（包括數(shù)學(xué)）中，大部分現(xiàn)象的規(guī)律是以下列形式表達(dá)的：“只要條件ξ一經(jīng)實(shí)現(xiàn)，則事件A必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。”例如，“如果平面圖形是三角形（條件ξ實(shí)現(xiàn)），那么這個(gè)圖形的內(nèi)角和是180。（事件A一定發(fā)生）”；又如“一個(gè)力作用于一物體時(shí)（條件ξ實(shí)現(xiàn)），該物體必產(chǎn)生加速度（事件A發(fā)生）”；再如“在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、溫度100℃的條件下，水_定沸騰?！币韵路Q在條件ξ下必然發(fā)生的事件A為條件ξ下的必然事件f或簡(jiǎn)稱必然事件），稱在條件ξ下必然不發(fā)生的事件A為條件ξ下的不可能事件（或簡(jiǎn)稱不可能事件）?！　∨c必然事件不同，在客觀世界中還存在這樣的事件：在條件ξ下，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生。我們以后將在條件ξ實(shí)現(xiàn)時(shí)，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做條件ξ下的隨機(jī)事件（或簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件）。下面我們舉一些例子?！　±? 從某工廠的某種產(chǎn)品中抽出的一件產(chǎn)品可能是合格品，也可能不是。在這個(gè)例子中，條件ξ是“從某工廠的某種產(chǎn)品中抽出一件產(chǎn)品”，事件A是“抽得的產(chǎn)品是合格品”，顯然A是條件ξ下的隨機(jī)事件。同樣，將“從某工廠的某種產(chǎn)品中抽得n件產(chǎn)品”看作條件ξ，則“其中恰有κ件合格品”（0≤尼≤n）是在ξ之下的隨機(jī)事件。

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無

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