微分幾何

前言

　　微分幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，不僅歷史悠久，而且由于它在發(fā)展過程中的不斷更新，至今仍是一個(gè)十分活躍的領(lǐng)域，并且滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在理論物理、機(jī)械工程、力學(xué)等其他領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用，　　多年來，一般高校微分兀何教材是以經(jīng)典的初等微分幾何為其主要內(nèi)容，所討論的主要是三維歐氏空間中的曲面與曲線的局部性質(zhì)，使用的方法以數(shù)學(xué)分析為主要工具，由于微分幾何的不斷發(fā)展，也由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，在文獻(xiàn)（M.P do Carmo著，田疇等譯，1988，孟道驥，1991）的啟發(fā)影響下，本教材加入了整體微分幾何的部分內(nèi)容，引人了微分流形的基本概念，在方法上，盡可能地用現(xiàn)代微分幾何的方法、觀點(diǎn)來處理經(jīng)典微分幾何的主要內(nèi)容，關(guān)注整體性質(zhì)與局部性質(zhì)的相關(guān)聯(lián)問題，試圖架起從古典理論到近代理論的橋梁，及時(shí)傳達(dá)近代數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和發(fā)展精神?！　”緯譃榱?，第一章綜述了預(yù)備知識，即三維歐氏空間的拓?fù)鋵W(xué)、向量分析、外微分形式、外微分算子、外代數(shù)等；第二章介紹了曲線的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)；第三章討論了曲面的局部性質(zhì)；第四章介紹了曲面上的聯(lián)絡(luò)，這是近代微分幾何中一個(gè)非常重要的概念；第五章研究了曲面的一些整體性質(zhì)，為近代微分幾何的研究提供了一個(gè)直觀的背景；第六章引入了微分流形的基本概念，它是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中具有代表性的基本概念之一?！　”緯撟C嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)力求簡明，敘述上深入淺出、條理清晰，盡可能地把概念表述得比較具體、直觀?！　”緯且宰髡咴诎不諑煼洞髮W(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)《微分幾何》課時(shí)所編的講義的基礎(chǔ)上并結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐編寫而成的，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張量同志為本書選配了習(xí)題，并仔細(xì)地閱讀了全部書稿，提出了許多寶貴意見；安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系余靜同志參加了第一章、第二章部分內(nèi)容的編寫，在本書的編寫和出版過程中，還得到了安徽省教育廳自然科學(xué)研究基金、教學(xué)研究基金和安徽師范大學(xué)教材建設(shè)基金的支持，在此表示誠摯的謝意！　　在編寫本書的過程中，采用了其他著作和相關(guān)成果，這里難以一一標(biāo)示，特向原作者表示衷心的感謝?！　∮捎谧髡咚接邢蓿瑫杏行﹥?nèi)容的處理不一定妥當(dāng)，錯(cuò)誤也在所難免，誠望大家批評指正，以便改進(jìn)。

內(nèi)容概要

　　《微分幾何》共分六章，第一章綜述了預(yù)備知識；第二章研究了曲線的局部性質(zhì)及一些整體性質(zhì)；第三章研究了曲面的經(jīng)典內(nèi)容——曲面的局部性質(zhì)；第四章介紹了曲面上的聯(lián)絡(luò)，這是近代微分幾何中一個(gè)非常重要的概念；第五章討論了曲面的整體性質(zhì)，為近代微分幾何的研究提供了一個(gè)直觀背景；第六章介紹了微分流形的基本概念，這是近代數(shù)學(xué)中具有代表性的基本概念之一，每章均配有習(xí)題，以鞏固知識并訓(xùn)練解題技巧?！　　段⒎謳缀巍房勺鳛榇髮W(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的教材，也可供有關(guān)的數(shù)學(xué)工作者參考。

書籍目錄

第一章　預(yù)備知識1.1　歐氏空間的基本概念1.1.1　n維歐氏空間1.1.2　鄰域開集閉集1.1.3　連續(xù)性同胚1.1.4　連通集1.1.5　緊致性1.2　向量函數(shù)1.2.1　向量函數(shù)的極限1.2.2　向量函數(shù)的連續(xù)性1.2.3　向量函數(shù)的微導(dǎo)，Taylor公式1.2.4　向量函數(shù)的積分1.2.5　向量函數(shù)的幾個(gè)常用性質(zhì)1.3　一次形式1.3.1　一次形式的定義1.3.2　一次形式組成的空間1.4　Grassmann積1.4.1　Grassnlann積的定義及其簡單性質(zhì)1.4.2　Cartan引理1.5　p-形式及外代數(shù)1.5.1　y2-空間1.5.2　p-形式及空間Vp1.5.3　外代數(shù)（Grassmann代數(shù)）1.6　外微分d習(xí)題第二章　曲線論2.1　曲線的一般概念2.1.1　曲線的概念2.1.2　曲線的弧長自然參數(shù)2.2　空間曲線的活動標(biāo)架（基本三棱形）2.3　空間曲線的基本公式2.4　曲率和撓率2.4.1　曲率和撓率的計(jì)算2.4.2　曲率和撓率的幾何意義2.5　曲線論的基本定理2.6　幾種特殊曲線2.6.1　平面曲線2.6.2　球面曲線2.6.3　曲線在一點(diǎn)的密切圓2.6.4　空間曲線的球面像2.7　曲線的一些整體性質(zhì)2.7.1　曲線的有關(guān)概念2.7.2　平面曲線的幾個(gè)整體性質(zhì)2.7.3　空間曲線的某些整體性質(zhì)習(xí)題第三章　曲面的局部性質(zhì)3.1　曲面的概念3.1.1　曲面的表示3.1.2　切平面與法向量3.2　曲面的第一基本形式3.2.1　曲面上的光滑函數(shù)3.2.2　第一基本形式3.2.3　等距對應(yīng)3.2.4　共形對應(yīng)3.3　曲面的第二基本形式3.4　曲面上的曲率3.4.1　法曲率3.4.2　主曲率主方向3.4.3　Gauss曲率平均曲率3.5　曲面上的一些重要曲線3.5.1　曲率線3.5.2　漸近曲線3.5.3　測地線3.5.4　三種重要曲線的等價(jià)命題3.5.5　三種重要曲線之間的關(guān)系3.6　特殊曲面3.6.1　極小曲面3.6.2　常曲率曲面3.6.3　可展曲面3.6.4　單參數(shù)平面族的包絡(luò)面3.7　曲面論的基本定理3.7.1　曲面的基本公式3.7.2　曲面的基本方程3.7.3　曲面論的基本定理習(xí)題第四章　聯(lián)絡(luò)4.1　曲面上的向量場4.1.1　曲面上的光滑函數(shù)4.1.2　曲面S在點(diǎn)p∈S的切向量Xp4.1.3　曲面S上的切向量場4.2　曲面上的聯(lián)絡(luò)4.3　聯(lián)絡(luò)的曲率張量4.4　測地線習(xí)題第五章　曲面的一些整體性質(zhì)5.1　整體曲面5.2　球面的剛性5.3　Gauss-Bonnet公式5.3.1　局部的Causs-Bonnet公式5.3.2　整體的Gauss-Bonnet公式5.4　凸曲面與積分公式5.4.1　凸曲面5.4.2　積分公式5.5　全平均曲率與Willmove猜想5.5.1　全平均曲率5.5.2　環(huán)面的全平均曲率習(xí)題第六章　微分流形初步6.1　微分流形的定義6.2　流形在一點(diǎn)的切空間6.3　Riemann空間6.4　流形上的切向量場6.4.1　基本概念6.4.2　Poisson括號積6.4.3　光滑切向量場的積分曲線6.5　仿射聯(lián)絡(luò)6.5.1　仿射聯(lián)絡(luò)的定義及局部表示6.5.2　仿射聯(lián)絡(luò)的存在性定理6.5.3　仿射聯(lián)絡(luò)的撓率和曲率習(xí)題主要參考文獻(xiàn)

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