經(jīng)典和量子耗散系統(tǒng)的隨機(jī)模擬方法

前言

　　人們所面臨和研究的問(wèn)題原則上可以分為兩大類(lèi)：確定性問(wèn)題和隨機(jī)問(wèn)題。前者可用熟知的數(shù)值差分或積分解決；后者只能用模擬方法解決。即便對(duì)確定性問(wèn)題，也能夠設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的某個(gè)特征量的統(tǒng)計(jì)平均等價(jià)于問(wèn)題的解。而隨機(jī)問(wèn)題又可歸結(jié)為兩個(gè)方面：①過(guò)程方程具有隨機(jī)因素；②初始或邊界條件是隨機(jī)分布的?？梢哉f(shuō)：“隨機(jī)的是確定的”。這句話的含義是指，孤立的系統(tǒng)，僅受牛頓力學(xué)支配的模型只是理想化的，而系統(tǒng)往往要受到環(huán)境及其他不確定因素的影響，卻是可以肯定的?！　‰S機(jī)與漲落現(xiàn)象是眾多學(xué)科領(lǐng)域廣泛遇到的。解決這一問(wèn)題最為方便的方法是蒙特卡羅方法（MonteCar10method，MC方法）。該方法是以世界上最著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅市的名字來(lái)命名的，頗具象征意義，現(xiàn)在也多被稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。一個(gè)最早包含了蒙特卡羅方法思想雛形的實(shí)驗(yàn)，是著名的蒲豐（ComtedeBuffon）“投針求π”而系統(tǒng)地用蒙特卡羅方法解決科學(xué)問(wèn)題，出現(xiàn)在利用早期的電子計(jì)算機(jī)模擬中子在裂變物質(zhì)中的輸運(yùn)現(xiàn)象?！　‰S機(jī)模擬方法在許多文獻(xiàn)中介紹過(guò)，但是很零散。研究者使用這一方法，大多是通過(guò)跟蹤文獻(xiàn)或從有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)者那里學(xué)到的。因此，將隨機(jī)模擬方法系統(tǒng)地介紹并加以討論是一件有意義的事情。由于蒙特卡羅方法的巨大功效，不同的研究者在他們的工作領(lǐng)域內(nèi)對(duì)蒙特卡羅方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)［1－12］以及隨機(jī)過(guò)程理論和應(yīng)用（參見(jiàn)文獻(xiàn)[13－18]）的發(fā)展都做出了貢獻(xiàn)。人們將蒙特卡羅模擬比喻為“最后的方法”，這有兩個(gè)含義：一是說(shuō)當(dāng)其他方法不能解決所研究的問(wèn)題時(shí)，可采用蒙特卡羅方法：二是說(shuō)當(dāng)能用解析或數(shù)值方法時(shí)，不要使用這一方法，因?yàn)槊商乜_模擬結(jié)果具有較慢的隨機(jī)收斂性。不少研究者由于對(duì)此方法缺乏體會(huì)，不敢或者不放心使用蒙特卡羅方法，主要擔(dān)心精度不高，以為其相對(duì)誤差會(huì)高達(dá)百分之幾。然而情況并非如此，首先，大數(shù)定理和中心極限定理在理論上保證了這種算法的正確性：其次，結(jié)果收斂于真值具有概率性，因此進(jìn)行多次統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)是必要的。很有可能用較少的實(shí)驗(yàn)粒子數(shù)目就獲得較好的結(jié)果，這里面有一些技巧和策略可供選擇?！　”娝苤y(tǒng)計(jì)物理的基本原理是“宏觀量是相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值”。所以擅長(zhǎng)于計(jì)算各類(lèi)平均、特別是高維分布上的平均值的蒙特卡羅方法自然能在統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理中發(fā)揮很大的作用。這方面將是本書(shū)主要涉及的課題。

內(nèi)容概要

本書(shū)系統(tǒng)深入地介紹了如何用隨機(jī)模擬方法求解經(jīng)典和量子耗散系統(tǒng)的問(wèn)題及其策略，全書(shū)分兩大部分：第一部分為經(jīng)典隨機(jī)系統(tǒng)，包含第1～9章，內(nèi)容包括蒙特卡羅方法與技巧、米特羅波利斯抽樣和動(dòng)力學(xué)方法、噪聲與漲落耗散、朗之萬(wàn)方程的數(shù)值模擬及其策略、主方程的蒙特卡羅模擬、反常擴(kuò)散的數(shù)值模擬方法、相變模型的隨機(jī)模擬；第二部分為量子耗散系統(tǒng)，包含第10-15章，內(nèi)容包括路徑積分的基本特性、傳播子精確可解的例子、密度矩陣和影響泛函、量子耗散系統(tǒng)、變分路徑積分和量子蒙特卡羅方法等。    本書(shū)從基礎(chǔ)到前沿闡明了處理隨機(jī)問(wèn)題的行之有效的方案，也包含了作者多年科研與教學(xué)的體會(huì)，可供從事和研究隨機(jī)過(guò)程的科技人員參考，也可作為高等院校理科有關(guān)專(zhuān)業(yè)的研究生學(xué)習(xí)科學(xué)計(jì)算方法的教學(xué)用書(shū)。

書(shū)籍目錄

前言第一章  隨機(jī)方法概述  1.1  預(yù)備知識(shí)  1.2  蒙特卡羅方法的發(fā)展  1.3  蒙特卡羅求積分思想  1.4  蒙特卡羅方法的特點(diǎn)  1.5  計(jì)算的若干細(xì)節(jié)  1.6  小結(jié)第二章  由已知分布隨機(jī)抽樣  2.1  基本特性  2.2  直接抽樣方法  2.3  舍選抽樣方法    2.3.1  簡(jiǎn)單分布的舍選法    2.3.2  乘分布的舍選法  2.4  復(fù)合抽樣方法    2.4.1  加分布    2.4.2  隨機(jī)變量的合成    2.4.3  復(fù)合抽樣方法的一般形式  2.5  變換抽樣方法  2.6  近似抽樣方法  2.7  隨機(jī)向量的抽樣方法  2.8  注釋第三章  降方差技巧  3.1  降低實(shí)驗(yàn)方差的特性  3.2  重要抽樣技巧  3.3  期望估計(jì)技巧  3.4  相關(guān)技巧  3.5  分層抽樣技巧  3.6  分裂與賭技巧  3.7  評(píng)注第四章  米特羅波利斯抽樣和動(dòng)力學(xué)方法  4.1  馬爾可夫過(guò)程  4.2  正則系綜平均量的計(jì)算  4.3  米特羅波利斯抽樣方法  4.4  熱浴法  4.5  廣義米特羅波利斯抽樣方法  4.6  動(dòng)力學(xué)方法產(chǎn)生平衡態(tài)與已知分布    4.6.1  平衡態(tài)分布    4.6.2  應(yīng)用算例    4.6.3  已知分布    4.6.4  動(dòng)力學(xué)重要抽樣求定積分  4.7  評(píng)注第五章  噪聲與漲落耗散  5.1  概述  5.2  噪聲與布朗運(yùn)動(dòng)  5.3  系統(tǒng)加熱浴模型    5.3.1  廣義朗之萬(wàn)方程    5.3.2  漲落耗散定理    5.3.3  譜函數(shù)  5.4  噪聲的功率譜    5.4.1  色噪聲    5.4.2  噪聲的帶寬  5.5  簡(jiǎn)諧噪聲和簡(jiǎn)諧速度噪聲  5.6  簡(jiǎn)諧噪聲    5.6.1  簡(jiǎn)諧噪聲的關(guān)聯(lián)函數(shù)    5.6.2  極限情況分析    5.6.3  簡(jiǎn)諧噪聲的頻譜關(guān)系    5.6.4  簡(jiǎn)諧噪聲的頻域帶寬  5.7  簡(jiǎn)諧速度噪聲    5.7.1  簡(jiǎn)諧速度噪聲的關(guān)聯(lián)函數(shù)    5.7.2  極限情況和頻譜關(guān)系    5.7.3  簡(jiǎn)諧速度噪聲的頻域帶寬  5.8  福克-普朗克方程    5.8.1  ?？?普朗克方程的推導(dǎo)    5.8.2  伊藤斯特拉托諾維奇困境的討論  5.9小結(jié)第六章  朗之萬(wàn)方程的數(shù)值模擬及其策略  6.1  分子動(dòng)力學(xué)與布朗動(dòng)力學(xué)的比較  6.2  歐拉方法  6.3  隨機(jī)泰勒展開(kāi)    6.3.1  乘性噪聲    6.3.2  一般阻尼情況    6.3.3  奧恩斯坦-烏倫貝克噪聲  6.4  隨機(jī)龍格-庫(kù)塔算法  6.5  隨機(jī)積分方法    6.5.1  非線性力展開(kāi)的積分算法    6.5.2  應(yīng)用算例：傾斜周期勢(shì)中的定向流  6.6  廣義朗之萬(wàn)方程的積分算法  6.7  擬局部振蕩算法    6.7.1  模型和算法    6.7.2  應(yīng)用算例    6.7.3  小結(jié)  6.8  乘性白噪聲驅(qū)動(dòng)的周期運(yùn)動(dòng)  6.9  半隱式算法  6.10  阻尼積分算法  6.11  評(píng)注第七章  主方程的蒙特卡羅模擬  7.1  主方程及其差分解  7.2  時(shí)間相關(guān)平均量和相關(guān)系數(shù)的蒙特卡羅計(jì)算  7.3  主方程的直接蒙特卡羅模擬  7.4  主方程與朗之萬(wàn)方程的關(guān)系  7.5  實(shí)例第八章  反常擴(kuò)散的數(shù)值模擬方法  8.1  離散傅里葉變換產(chǎn)生任意色噪聲    8.1.1  時(shí)間關(guān)聯(lián)噪聲的模擬    8.1.2  二維空問(wèn)關(guān)聯(lián)噪聲的模擬  8.2  非歐姆阻尼  8.3  利用傅里葉變換產(chǎn)生任意關(guān)聯(lián)色噪聲的數(shù)值算法  8.4  粒子在非歐姆阻尼環(huán)境中的擴(kuò)散  8.5  連續(xù)時(shí)間無(wú)規(guī)行走    8.5.1  CTRW模型及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)    8.5.2  有勢(shì)情況下的CTRW    8.5.3  小結(jié)第九章  相變模型的隨機(jī)模擬  9.1  伊辛模型    9.1.1  伊辛模型    9.1.2  主要物理量和方法    9.1.3  米特羅波利斯方法    9.1.4  弛豫效應(yīng)    9.1.5  周期邊界條件    9.1.6  有限尺度效應(yīng)    9.1.7  最近鄰相互作用  9.2  伊辛模型的蒙特卡羅模擬  9.3  二元合金系統(tǒng)  9.4  XY模型第十章  路徑積分的基本特性  10.1  傳播子    10.1.1  定義和性質(zhì)    10.1.2  薛定諤方程的路徑積分表示  10.2  有限維位形空間中的路徑積分    10.2.1  由拉格朗日函數(shù)描述波函數(shù)的時(shí)間演化    10.2.2  K（x，tf；xo，to）的路徑積分公式  10.3  路徑積分的優(yōu)缺點(diǎn)第十一章  傳播子精確可解的例子  11.1  一維自由運(yùn)動(dòng)  11.2  一維諧振子的傳播子    11.2.1  借助經(jīng)典路徑求傳播子    11.2.2  直接計(jì)算N-1維路徑積分求傳播子    11.2.3  與量子力學(xué)結(jié)果的比較  11.3強(qiáng)迫諧振子的傳播子第十二章  密度矩陣和影響泛函  12.1  系統(tǒng)環(huán)境相互作用模型  12.2  實(shí)時(shí)間路徑積分    12.2.1  歐幾里得泛函積分    12.2.2  用躍遷矩陣元求影響泛函    12.2.3  應(yīng)用算例：鞍點(diǎn)通過(guò)概率第十三章  量子耗散系統(tǒng)  13.1  虛時(shí)間和傅里葉級(jí)數(shù)  13.2  傅里葉空間的泛函測(cè)量  13.3  量子耗散系統(tǒng)第十四章  變分路徑積分  14.1  半經(jīng)典近似  14.2  有效經(jīng)典勢(shì)和配分函數(shù)    14.2.1  思路    14.2.2  諧振子的有效經(jīng)典勢(shì)  14.3  變分路徑積分    14.3.1  費(fèi)恩曼克萊勒特有效經(jīng)典勢(shì)    14.3.2  應(yīng)用算例  14.4  非線性耗散系統(tǒng)的有效經(jīng)典勢(shì)    14.4.1  雙變分    14.4.2  應(yīng)用算例  14.5  評(píng)注第十五章  量子蒙特卡羅方法  15.1  變分蒙特卡羅方法    15.1.1  量子多體系統(tǒng)的最低能量    15.1.2  麥克米倫米特羅波利斯（McMillan—Metropolis）方法    15.1.3  偏倚抽樣法求極小能量    15.1.4  應(yīng)用算例    15.1.5  擴(kuò)散方程、格林函數(shù)和朗之萬(wàn)方程  15.2  變分蒙特卡羅方法的改進(jìn)：?？似绽士朔匠虒?dǎo)引  15.3  格林函數(shù)蒙特卡羅方法    15.3.1  薛定諤方程的積分形式    15.3.2  無(wú)規(guī)行走法求格林函數(shù)  15.4  擴(kuò)散蒙特卡羅方法  15.5  路徑積分蒙特卡羅方法    15.5.1  軌道遞推方法    15.5.2  快速傅里葉變換方法  15.6  非線性量子耗散系統(tǒng)    15.6.1  重要高斯測(cè)量    15.6.2  有效耗散經(jīng)典勢(shì)    15.6.3  應(yīng)用算例  15.7  量子亞穩(wěn)系統(tǒng)的衰變速率    15.7.1  路徑積分蒙特卡羅方法    15.7.2  結(jié)果和討論參考文獻(xiàn)索引中英文人名對(duì)照表

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