近世代數(shù)講義

前言

提起代數(shù)，一般人想起的是中學(xué)里學(xué)的一大部分?jǐn)?shù)學(xué)，如因式分解、解方程、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。這些數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)微積分的預(yù)備知識(shí)。這門課程所講述的代數(shù)有所不同，它著重于探討群、環(huán)、域、向量空間等一些常用的代數(shù)結(jié)構(gòu)以及它們之間的映射。為了有別于古典代數(shù)，它被稱為“近世代數(shù)”或“抽象代數(shù)”。它的思想起源于何時(shí)沒有統(tǒng)一的說法，但是數(shù)學(xué)界一般認(rèn)為近世代數(shù)作為一門學(xué)科是在20世紀(jì)由E.Noether和E.Artin等數(shù)學(xué)家建立起來的。在大學(xué)一年級(jí)的線性代數(shù)課程中，我們已經(jīng)接觸了向量空間這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，在這個(gè)結(jié)構(gòu)上加入內(nèi)積運(yùn)算又產(chǎn)生歐氏空間、酉空間等結(jié)構(gòu)。再看整數(shù)集合z和實(shí)系數(shù)單變量多項(xiàng)式全體所構(gòu)成的集合R[x]。它們都具有加法和乘法運(yùn)算。它們有一系列重要的性質(zhì)是非常相似的，從代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來看，它們有內(nèi)在的聯(lián)系。粗略地說，一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是帶有一種或多種滿足某些條件的運(yùn)算的集合。這是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一。另一個(gè)重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它不在本課程討論范圍之內(nèi)，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生微分結(jié)構(gòu)、解析結(jié)構(gòu)等，代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)合起來又產(chǎn)生拓?fù)淙?、李群等結(jié)構(gòu)。近百年的數(shù)學(xué)發(fā)展證實(shí)了近世代數(shù)有著不可缺少的作用。正因如此，近世代數(shù)已成為數(shù)學(xué)系的一門重要基礎(chǔ)課程，一般安排在大學(xué)二、三年級(jí)。理想的學(xué)時(shí)安排是一個(gè)學(xué)年，但是由于種種原因我國(guó)大學(xué)課程的學(xué)時(shí)越來越緊張，以至于大部分大學(xué)數(shù)學(xué)系只能安排一個(gè)學(xué)期的近世代數(shù)課。盡管如此，這門課必須包括群、環(huán)、域、同態(tài)等基本內(nèi)容，作者還認(rèn)為Galois理論是代數(shù)學(xué)的一個(gè)里程碑，如果修了這門課的學(xué)生不知道Galois理論是一件憾事。通過十來年的教學(xué)實(shí)踐，作者對(duì)某些內(nèi)容作了一定的精簡(jiǎn)，使得重點(diǎn)更加突出，在一個(gè)學(xué)期時(shí)間內(nèi)使學(xué)生學(xué)到Galois理論的主要定理和五次以上的方程無求根公式這個(gè)經(jīng)典定理的證明。

內(nèi)容概要

本書根據(jù)作者在復(fù)旦大學(xué)多年教學(xué)的講義修改而成，內(nèi)容包括群的基本知識(shí)、環(huán)和域的基本知識(shí)、多項(xiàng)式和有理函數(shù)、向量空間、群論中一些進(jìn)一步的知識(shí)、域的擴(kuò)張、有限域、Galois理論初步。本書配有相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，難度變化大，適應(yīng)多層次教學(xué)的需要。書后附有習(xí)題解答和提示，供讀者參考。    本書可作為綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系和計(jì)算機(jī)系本科生作為教材使用，也可作為相關(guān)專業(yè)及數(shù)學(xué)愛好者參考使用。

書籍目錄

前言預(yù)備知識(shí)和記號(hào)第1章  群的基本知識(shí)  1.1 定義和例子  1.2 子群  1.3 置換群  1.4 陪集  1.5 正規(guī)子群和商群  1.6 交錯(cuò)群  1.7 群的同態(tài)  1.8 群的直積  1.9 有限循環(huán)群的自同構(gòu)和Euler函數(shù)  1.10 群作用第2章  環(huán)和域的基本知識(shí)  2.1 基本定義  2.2 理想和商環(huán)  2.3 環(huán)的同態(tài)  2.4 域的基本知識(shí)第3章  多項(xiàng)式和有理函數(shù)  3.1 單變量多項(xiàng)式  3.2 帶余除法  3.3 多變量多項(xiàng)式  3.4 因式分解  3.5 多項(xiàng)式函數(shù)第4章  向量空間  4.1 向量空間和線性變換  4.2 商空間第5章  群論中一些進(jìn)一步的知識(shí)  5.1 有限群作用的軌道公式  5.2 Sylow子群  5.3 有限生成Abel群的結(jié)構(gòu)  5.4 可解群第6章  域的擴(kuò)張  6.1 擴(kuò)域的初步性質(zhì)  6.2 代數(shù)擴(kuò)張  6.3 域擴(kuò)張的構(gòu)造  6.4 代數(shù)閉域  6.5 圓規(guī)直尺作圖問題第7章  有限域  7.1 基本理論  7.2 有限域的乘法群的結(jié)構(gòu)第8章  Galois理論初步  8.1 基本理論  8.2 可解擴(kuò)張和高次方程求解習(xí)題解答和提示參考文獻(xiàn)附錄  A.1 二次剩余  A.2 有限體是域  A.3 三次方程求根公式和Hilbert定理90  A.4 四次方程求根公式索引

章節(jié)摘錄

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《近世代數(shù)講義》由科學(xué)出版社出版。

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