波形松弛方法

前言

微分方程可用來描述自然規(guī)律，而微分方程求解則是現(xiàn)代大型科學(xué)工程計(jì)算的核心。隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，需求解問題的規(guī)模越來越大，而迭代法作為解決大規(guī)模問題的有效方法，也成為求解大型微分方程最重要的方法之一.波形松弛方法，有時(shí)也稱為動(dòng)力學(xué)迭代方法，作為一種典型的整體動(dòng)態(tài)迭代方法，更受到越來越多科學(xué)工作者的關(guān)注。隨著學(xué)者們的不斷研究與探索，波形松弛方法在理論分析方面已經(jīng)取得極大的發(fā)展。此方法最大的優(yōu)點(diǎn)是將復(fù)雜的系統(tǒng)解耦，并使解耦后的子系統(tǒng)保持原系統(tǒng)的某些特性，而且能做到并行求解。在當(dāng)今科技高速發(fā)展的年代，并行算法的求解得到廣大學(xué)者的關(guān)注，而且實(shí)際問題的并行化也是大型工程應(yīng)用領(lǐng)域的迫切需求。在這樣的情況下，波形松弛方法作為一種可并行實(shí)現(xiàn)的方法日臻成熟。波形松弛方法自1982年在電路模擬領(lǐng)域被提出以來，不但在電子工程界得到廣泛的應(yīng)用，而且在科學(xué)計(jì)算界也得到普遍重視。實(shí)際上，在波形松弛方法出現(xiàn)以前，微分方程領(lǐng)域就存在著著名的Picard迭代方法?，F(xiàn)在我們知道，其實(shí)這僅僅是波形松弛方法的一種簡單形式。一般而言，人們對(duì)微分方程的認(rèn)識(shí)主要是基于定性分析和數(shù)值分析這兩種方法。定性分析一般難于全面描述一般方程的性態(tài)，而且對(duì)于大型復(fù)雜系統(tǒng)也無能為力；而一般數(shù)值方法計(jì)算過程比較單一，不能充分利用計(jì)算資源，并且為了提高精度而改變步長時(shí)，需要對(duì)整個(gè)過程重新計(jì)算，從而消耗大量時(shí)間。現(xiàn)在，許多工業(yè)問題都要求快速、實(shí)時(shí)的響應(yīng)，例如飛行器或艦船的模擬與控制、期權(quán)價(jià)格計(jì)算、分子動(dòng)力學(xué)的模擬、病理學(xué)的模擬、流體結(jié)構(gòu)的計(jì)算、長時(shí)間的天氣預(yù)報(bào)以及衛(wèi)星軌道控制等，單一的數(shù)值計(jì)算方法都難以完全勝任。利用波形松弛方法求解復(fù)雜問題不僅能夠達(dá)到工業(yè)生產(chǎn)中所要求的精度，而且能夠從松弛迭代過程看出問題的性態(tài)變化趨勢(shì)。更為重要的是，松弛后的系統(tǒng)由不耦合或弱耦合的子系統(tǒng)組成，如果再對(duì)其進(jìn)行并行處理，則可節(jié)省大量運(yùn)算時(shí)間。 目前，波形松弛方法已經(jīng)應(yīng)用到更復(fù)雜的模型，比如隨機(jī)微分方程、拋物型偏微分方程等。波形松弛方法的解耦與并行的思想更是被應(yīng)用到其他算法中，形成許多高效的新算法，比如新型區(qū)域分解、新型多重網(wǎng)格以及其他的一些新型算法。波形松弛方法的實(shí)現(xiàn)過程相對(duì)簡單，并且在這方面的研究已趨于成熟。近年，隨著與各種算法的交叉融合，波形松弛方法的思想得到更廣闊和更深入的發(fā)展。因此，作者認(rèn)為目前有必要對(duì)波形松弛方法及時(shí)做一個(gè)總結(jié)。同時(shí)，考慮到它的發(fā)展現(xiàn)狀，希望能對(duì)其進(jìn)一步的研究與推廣起到促進(jìn)作用。本書大部分內(nèi)容取自作者多年來在波形松弛方法方面所做的科學(xué)研究工作，并且為兼顧全書的完整性，篩選了少量該領(lǐng)域的成熟成果。自1995年起，作者一直從事波形松弛方法的理論分析以及在電路模擬領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用等研究工作。當(dāng)前，作者正致力于波形松弛方法與其他方法的交叉應(yīng)用以及波形松弛方法的并行實(shí)現(xiàn)等問題的研究。本書的部分內(nèi)容曾作為西安交通大學(xué)研究生學(xué)位課程多次講授，受到學(xué)生的歡迎。書中基本內(nèi)容散見于有關(guān)波形松弛方法的諸多文獻(xiàn)中。為了便于讀者閱讀，我們盡量用比較通俗易懂的語句敘述，內(nèi)容方面注重條理性和系統(tǒng)性。同時(shí)，既重視基礎(chǔ)理論，也注意最新進(jìn)展，努力使讀者閱讀本書后能很快地進(jìn)入到波形松弛方法的前沿研究中，而且也容易利用此方法去解決實(shí)際問題。經(jīng)過整理、歸納，并總結(jié)學(xué)生的反饋意見等，在不斷修改、豐富和完善后，最終完成了本書的定稿。 本書主要內(nèi)容包括三個(gè)部分，除緒論外共11章。具體安排如下： 緒論部分介紹波形松弛方法的基本思想，內(nèi)容比較簡單，為后面部分做一些鋪墊。 第1-6章為第一部分，遵循由簡單到復(fù)雜的順序，介紹波形松弛方法在不同系統(tǒng)初值問題中的應(yīng)用，這些初值問題可以看作工程應(yīng)用領(lǐng)域中瞬態(tài)響應(yīng)問題的抽象模型。 第7-9章為第二部分，與第一部分相對(duì)應(yīng)，這一部分針對(duì)工程應(yīng)用領(lǐng)域中普遍關(guān)注的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題，集中介紹周期問題的波形松弛方法。 第10-11章為第三部分，主要介紹波形松弛方法的加速技術(shù)，以及在特征值求解和模型降階等方法中的應(yīng)用。 在本書的寫作過程中，作者的學(xué)生劉軍、陳芳、李榮建、張輝、孔旭和李一鵬等同學(xué)付出了許多辛勤勞動(dòng)，尤其是劉軍同學(xué)，他長期負(fù)責(zé)材料的收集和整理等繁雜工作。在多年的研究工作和本書的寫作中，作者的家人一直為作者營造著溫馨和諧的家庭環(huán)境，使作者無后顧之憂。本書的出版得到了西安交通大學(xué)騰飛特聘教授科研配套經(jīng)費(fèi)的支持。在本書出版之際，衷心感謝所有支持和幫助過作者的人和機(jī)構(gòu)。 由于作者水平有限，書中不妥與錯(cuò)誤之處在所難免，希望廣大讀者和同仁不吝賜教。 蔣耀林 2009年1月于西安

內(nèi)容概要

本書主要討論用于求解微分方程并具有廣泛應(yīng)用背景的波形松弛方法理論及應(yīng)用。除緒論外，全書共11章，基本內(nèi)容包括初值問題與周期問題的連續(xù)及離散波形松弛方法的收斂性、波形松弛算子的譜理論、波形松弛方法的加速算法，以及其他一些常用方法。全書論證詳盡，系統(tǒng)性強(qiáng)，各章內(nèi)容自成體系，又相互聯(lián)系。為便于讀者理解和閱讀，在內(nèi)容安排上，由淺人深，循序漸進(jìn)，詳略得當(dāng)。    本書可供計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、電路與系統(tǒng)以及計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)研究生閱讀，同時(shí)也可作為理工類相關(guān)專業(yè)教師以及從事科學(xué)和工程計(jì)算的科研工作者的參考書。

書籍目錄

緒論  0.1　波形松弛方法的基本思想  0.2　波形松弛方法的簡單分類第1章  常微分方程的波形松弛方法  1.1　泛函分析預(yù)備知識(shí)    1.1.1　Banach空間    1.1.2　線性算子譜與譜半徑    1.1.3　壓縮映射原理  1.2　線性微分方程的波形松弛方法    1.2.1　迭代格式    1.2.2　連續(xù)時(shí)間情形    1.2.3　離散時(shí)間情形  1.3　非線性微分方程的波形松弛方法    1.3.1　一階微分方程情形    1.3.2　二階微分方程情形  1.4　波形松弛算子譜與偽譜第2章  線性微分代數(shù)方程的波形松弛方法  2.1　微分代數(shù)方程簡介  2.2　波形松弛方法    2.2.1　連續(xù)波形松弛方法    2.2.2　離散波形松弛方法    2.2.3　波形Krylov子空間方法  2.3　波形松弛算子譜與偽譜    2.3.1　波形松弛算子譜    2.3.2　波形松弛算子偽譜第3章  非線性微分代數(shù)方程的波形松弛方法  3.1　典型微分代數(shù)方程的波形松弛方法    3.1.1　半顯式微分代數(shù)方程    3.1.2　簡單隱式微分代數(shù)方程  3.2　一般微分代數(shù)方程的波形松弛方法    3.2.1　完全隱式微分代數(shù)方程    3.2.2　高指標(biāo)微分代數(shù)方程  3.3　單調(diào)波形松弛方法    3.3.1　初始值與輸入函數(shù)的單調(diào)依賴性    3.3.2　收斂性分析    3.3.3　初始迭代選取第4章　積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法  4.1　線性積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法    4.1.1　連續(xù)波形松弛方法    4.1.2　離散波形松弛方法    4.1.3　多重分裂波形松弛方法    4.1.4　波形Krylov子空間方法    4.1.5　矩陣分裂方法  4.2　非線性積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法    4.2.1　連續(xù)波形松弛方法    4.2.2　離散波形松弛方法第5章  時(shí)滯微分方程的波形松弛方法  5.1　顯式時(shí)滯常微分方程的波形松弛方法    5.1.1　簡單時(shí)滯微分方程    5.1.2　典型時(shí)滯微分方程    5.1.3　廣義時(shí)滯常微分方程  5.2　隱式時(shí)滯常微分方程的波形松弛方法  5.3　時(shí)間域無損傳輸線方程的波形松弛方法    5.3.1　無損傳輸線方程模型    5.3.2　波形松弛方法第6章　偏微分方程的波形松弛方法  6.1　多重網(wǎng)格波形松弛方法    6.1.1　多重網(wǎng)格方法    6.1.2　連續(xù)時(shí)間情形    6.1.3　離散時(shí)間情形  6.2　區(qū)域分解波形松弛方法    6.2.1　區(qū)域分解方法介紹    6.2.2　傳統(tǒng)Schwarz波形松弛方法    6.2.3　優(yōu)化Schwarz波形松弛方法第7章　常微分方程的周期波形松馳方法第8章　微分代數(shù)方程的周期波形松馳方法第9章　偏微分方程的周期波形松馳方法第10章　波形松馳的加速方法第11章　波形松馳方法的一些應(yīng)用參考文獻(xiàn)

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《波形松弛方法》由科學(xué)出版社出版。

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