常微分算子譜論

前言

常微分算子譜理論的研究，可以上溯到19世紀(jì)30年代Sturm和Liouville的工作，已經(jīng)有近200年歷史了．由于線性疊加思想的廣泛應(yīng)用，讓它跟數(shù)學(xué)的眾多分支（微分方程、概率論、復(fù)變函數(shù)、特殊函數(shù)等）都有了聯(lián)系，且成為了量子物理的基本數(shù)學(xué)工具．它與物理的互動(dòng)，又催生了廣義函數(shù)、局部凸拓?fù)渚€性空間、裝備Hilbert空間f即Gelfandtriplet）等新的數(shù)學(xué)分支．所以，這個(gè)方向雖然古老，但卻是一個(gè)極富生命力的領(lǐng)域。本書是在給內(nèi)蒙古大學(xué)1984級(jí)研究生講課的基礎(chǔ)上整理形成的一本講義，曾在南京理工大學(xué)作為課程教材用過，培養(yǎng)了若干屆研究生．我們希望它能把此課題在20世紀(jì)幾個(gè)研究高潮里側(cè)重于按特征展開所得到的主要結(jié)果反映出來(lái)：（1）早期Weyl的點(diǎn)圓分類工作；（2）四、五十年代Titchmarsh，Levinson，Levitan等英美國(guó)家和前蘇聯(lián)人的工作；（3）七、八十年代西方與我們自己（內(nèi)蒙古大學(xué)討論班）關(guān)于虧指數(shù)和自伴延拓的工作。至于譜集和按廣義特征泛函展開的研究則放棄了，它們都是當(dāng)今正在進(jìn)行著的工作，更適宜于過一階段再小結(jié)。2001年夏，南京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1997級(jí)何凌冰、吳海勇、徐冬元、王繼貴、劉敬剛、袁非凡等同學(xué)冒著炎熱，非常費(fèi)事地將本書部分書稿用word打印出來(lái)，后來(lái)，許孟博士提供了將word文件轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)atex文件的軟件，黃振友博士將源程序改成了現(xiàn)在的Latex形式，他的幾屆研究生何凌冰、金國(guó)海、楊傳富、陳衛(wèi)民、王平心、陳建華、王蘭寧、張艷霞、向會(huì)立、王一操、張茂柱、馮明勇、吳春蓮、李麗、施德才等閱讀書稿提出了不少修改意見，特別是張茂柱又打印了虧指數(shù)理論部分，李麗、施德才打印了例子部分并在LateX下將全書的圖作出，許孟博士幫助修改了部分稿件，在此，對(duì)這些老師和同學(xué)的辛勤勞動(dòng)表示衷心感謝！

內(nèi)容概要

本書論述了由線性常微分算式在空間L2上所生成的線性算子的譜理論，及其虧指數(shù)及判定、自伴延拓、譜染特點(diǎn)、譜分解等，有限區(qū)間情形給出Liouville、Sturm和泛函分析三種處理．無(wú)限區(qū)間情形，詳細(xì)討論了二階Smrm-Liouville算子經(jīng)典的Weyl理論、極限點(diǎn)、圓的判別、自伴延拓的譜分解與Titchmarsh按特征函數(shù)的展開。    本書可供高等院校數(shù)學(xué)系本科生、研究生、教師及科研人員閱讀參考。

書籍目錄

前言第1章  常微分算式所定義的微分算子  1.1 基本概念與性質(zhì)  1.2 微分算子的虧指數(shù)  1.3 對(duì)稱微分算子的虧指數(shù)與自伴延拓第2章  常型自伴微分算子的譜論  2.1 特征值與特征函數(shù)的漸近式  2.2 特征函數(shù)的零點(diǎn)  2.3 按特征函數(shù)的展開  2.4 常型自伴微分算子的譜分解第3章  奇型Sturm-Liouville算子的譜論  3.1 Weyl圓套  3.2 Weyl極限點(diǎn)與極限圓  3.3 Weyl點(diǎn)，圓的判別.  3.4 Weyl函數(shù)  3.5 Weyl解  3.6 To(M)的自伴延拓  3.7 譜函數(shù)的存在性  3.8 極限點(diǎn)情形的特征展開  3.9 極限點(diǎn)情形的譜與譜分解  3.10 極限圓情形的譜與譜分解  3.11 兩端均為奇異的情形第4章  例子  4.1 微分算式—iD與L2(R)上的Fourier變換  4.2 微分算式—D2與Fourier展開  4.3 Legendre微分算式  4.4 Bessel微分算式  4.5 Hermite微分算式  4.6 Laguerre微分算式第5章  奇型任意階情形自伴微分算子的譜論  5.1 展開式定理與Parseval等式  5.2 逆變換定理，譜矩陣的唯一性  5.3 Green函數(shù)與譜矩陣的表示  5.4 一類高階對(duì)稱微分算式極限點(diǎn)的Kauffman方法附錄  對(duì)稱算子的自伴延拓的calkin描述 參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《常微分算子譜論》可供高等院校數(shù)學(xué)系本科生、研究生、教師及科研人員閱讀參考。

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