積分方程

前言

　　積分方程作為一種重要的數(shù)學工具具有三個特點：第一，具有特定初始條件的微分方程初值問題或具有特定邊界條件的微分方程邊值問題可以轉(zhuǎn)化為單一的積分方程，其輔助條件自動滿足，因而其形式簡潔統(tǒng)一，且利用積分形式討論問題解的存在性、唯一性等十分方便，結(jié)果形式緊湊；第二，通常微分方程或其相應(yīng)的積分方程在大多數(shù)情況下沒有精確解或封閉解只好用數(shù)值近似或逼近計算來求其近似數(shù)值解，此時積分形式更適合數(shù)值計算和計算機實現(xiàn)，且一般情況下數(shù)值積分引起的相對誤差較小，所得結(jié)果較理想；第三，將區(qū)域上的微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程后維數(shù)降低，計算量大大減小。例如，兩個獨立變量的偏微分方程邊值問題（還要滿足一定的邊界條件）可以轉(zhuǎn)化為只含一個變量的未知函數(shù)的積分方程。積分方程已被廣泛應(yīng)用于科學和技術(shù)的幾乎所有分支，尤其在空氣動力學、彈性力學、斷裂力學、熱力學、熱彈性、電磁學、電子工程、振動理論、電動力學、流體力學、生物力學、輻射學、地球物理勘探、中子遷移理論、色散理論、離子物理、量子場理論、自動控制理論、博弈論以及醫(yī)藥學和經(jīng)濟學中具有廣泛應(yīng)用特別是隨著計算機科學和技術(shù)的發(fā)展，積分方程的應(yīng)用范圍越來越廣泛。

內(nèi)容概要

本書對積分方程與代數(shù)方程、常微分方程、偏微分方程以及解析函數(shù)邊值問題的聯(lián)系作了清晰的介紹，以通俗易懂的寫作方式詳細介紹了各種第一類、第二類Fredholm型、Voherra型線性積分方程和Cauchy核（非周期核）及Hilbert核（單周期核）奇異積分方程的實用解法，尤其是以數(shù)值算例等詳盡說明了數(shù)值解法的過程，也介紹了第三類積分方程的解法；介紹了積分方程組、積分微分方程和對偶積分方程以及非線性積分方程的常用有效的解法；特別地，雙周期核和雙準周期核——Weierstrass核奇異積分方程的類型以及對偶積分方程的數(shù)值解法、超奇異積分方程和超奇異積分微分方程的簡明解析解法等是全新的內(nèi)容。    本書可以作為應(yīng)用數(shù)學、計算數(shù)學、力學、材料、化學、生物、經(jīng)濟、工程學科等專業(yè)本科生的選修課教材和研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課教材，也可作為數(shù)學、物理、航空航天等工程領(lǐng)域的科研人員和工程技術(shù)人員的參考書和工具書。

作者簡介

李星，1964年生，博士，教授，上海交通大學博士生導師，寧夏大學副校長，中國數(shù)學文摘副主編，國家“百千萬人才工程”一、二層次人選。曾獲德國DAAD-K.C.Worlg獎學金留學柏林自由大學并獲博士學位，英國皇家學會皇家獎學金留學巴斯大學，國家留學基金委獎學金留學美國哈

書籍目錄

《大學數(shù)學科學叢書》序前言第1章 積分方程分類　1.1 積分方程歷史簡介　1.2 積分方程的分類　  1.2.1 線性積分方程分類　  1.2.2 積分方程組的分類.　  1.2.3 非線性積分方程的分類　1.3 積分方程模型實例　  1.3.1 人口預(yù)測模型　  1.3.2 生物種群生態(tài)模型　  1.3.3 神經(jīng)脈沖的傳播　  1.3.4 煙霧過濾　  1.3.5 交通運輸　  1.3.6 轉(zhuǎn)動軸的小偏轉(zhuǎn)　  1.3.7 傳輸信號的最優(yōu)形狀　  1.3.8 Bernoulli的幾何問題　  1.3.9 帶電圓板的對偶積分方程模型　第1章習題第2章 積分方程與代數(shù)方程及微分方程的聯(lián)系　2.1 線性積分方程與線性代數(shù)方程組的聯(lián)系　2.2 積分方程與微分方程的聯(lián)系　  2.2.1 積分方程與常微分方程的聯(lián)系　  2.2.2 積分方程與偏微分方程的聯(lián)系　第2章習題第3章 Fredholm積分方程的常用解法　3.1 有限差分逼近法　3.2 逐次逼近法及解核　3.3 泛函修正平均法　3.4 Fredholm積分方程退化核解法　3.5 退化核近似代替法　3.6 待定系數(shù)法　3.6.1 配置法　3.6.2 矩量法　3.7 對稱核積分方程　  3.7.1 對稱核及其性質(zhì)　  3.7.2 對稱核方程的特征值、特征函數(shù)及其性質(zhì)　  3.7.3 對稱核積分方程的解法　  3.7.4 雙對稱核，斜對稱核　3.8 數(shù)值積分法　3.9 第三類Fredholm積分方程　第3章習題第4章 Volterra積分方程的常用解法　4.1 有限差分逼近法　4.2 逐次逼近法　4.3 轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問題　4.4 第二類Volterra積分方程的數(shù)值積分解法　4.5 volterra，積分方程組　4.6 volterra，積分微分方程　4.7 volterra卷積積分（微分）方程　4.8 無界核Volterra積分方程　第4章習題第5章 第一類積分方程方程　5.1 第一類Fredholm積分方程　  5.1.1 退化核第一類Fredholm積分方程　  5.1.2 對稱核第一類Fredholm積分方程及特殊函數(shù)展開解法　  5.1.3 第一類Fredholm方程的逐次逼近法　  5.1.4 母函數(shù)法　  5.1.5 一般第一類Fredholm方程轉(zhuǎn)化第二類Fredholm方程求解法　  5.1.6 第一類Fredholm積分方程的直接數(shù)值積分解法　5.2 第一類Volterra積分方程　  5.2.1 第一類連續(xù)核Volterra積分方程　  5.2.2 第一類無界核Volterra積分方程　  5.2.3 第一類Volterra積分方程的直接數(shù)值積分解法　第5章習題第6章 積分變換法　6.1 Fourier變換方法　6.2 Laplace變換方法　6.3 Hilbert變換方法　6.4 Hankel變換方法　6.5 Mellin變換方法　6.6 Meijer變換、KontorovichLebeder變換等　6.7 主要積分變換列表　6.8 投影方法　第6章習題第7章 對偶積分方程的解法　7.1 對偶積分方程的投影解法　7.2 對偶積分方程的積分變換解法　7.3 對偶積分方程轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程　7.4 對偶積分方程的數(shù)值解法　7.5 第二類卷積型對偶積分方程的解析函數(shù)邊值解法　第7章習題第8章 積分方程組與積分微分方程的解法　8.1 積分方程組　  8.1.1 Fredholm積分方程組　  8.1.2 Volterra積分方程組　8.2 積分微分方程　第8章習題第9章 奇異積分方程　9.1 Cauchy型積分　9.2 Holder條件　9.3 Cauchy主值積分　9.4 曲線上的主值積分和Plemeli公式　9.5 封閉曲線上的Riemann邊值問題　9.6 開口弧段上的Riemann邊值問題.　9.7 周期Riemann邊值問題　9.8 第一類奇異積分方程　9.9 奇異積分方程數(shù)值積分法　9.10 超奇異積分方程的解法　第9章習題第10章 非線性積分方程　10.1 非線性積分方程的類型　10.2 非線性積分方程解的存在唯一性　10.3 非線性積分方程的逐次逼近解法　10.4 非線性積分方程與非線性微分方程的聯(lián)系　10.5 非線性積分方程的退化核解法　10.6 特殊非線性積分方程的特殊解法　10.7 非線性積分方程的積分變換解法　10.8 非線性積分方程的數(shù)值積分解法　第10章習題參考文獻附錄A Laplace積分變換表附錄B Laplace逆變換表附錄C Fourier余弦變換表附錄D Fourier正弦變換表附錄E Mellin積分變換表附錄F Mellin逆變換表《大學數(shù)學科學叢書》已出版書目

編輯推薦

　　《積分方程》是近代數(shù)學的一個重要分支。數(shù)學、自然科學和工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多問題都可以歸結(jié)為積分方程問題。正是因為這種雙向聯(lián)系和深入的特點，積分方程論得到了迅速地發(fā)展，成為包括眾多研究方向的數(shù)學分支。積分方程是含有對未知函數(shù)的積分運算的方程，與微分方程相對。許多數(shù)學物理問題需通過積分方程或微分方程求解。積分方程理論的發(fā)展，始終與數(shù)學物理問題的研究緊密相聯(lián)，它在工程、力學等方面有著極其廣泛的應(yīng)用。通常認為，最早自覺應(yīng)用積分方程并求出解的是阿貝爾（Abel），他在1823年研究質(zhì)點力學問題時引出阿貝爾方程。此前，拉普拉斯（Laplace）於1782年在數(shù)學物理中研究拉普拉斯變換的逆變換以及傅里葉（Fourier）於1811年研究傅里葉變換的反演問題實際上都是解第一類積分方程。隨著計算技術(shù)的發(fā)展，作為工程計算的重要基礎(chǔ)之一，積分方程進一步得到了廣泛而有效地應(yīng)用。如今，“物理問題變得越來越復(fù)雜，積分方程變得越來越有用”。積分方程與數(shù)學的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、復(fù)分析、計算數(shù)學、位勢理論和隨機分析等都有著緊密而重要地聯(lián)系。甚至它的形成和發(fā)展是很多重要數(shù)學思想和概念的最初來源和模型。例如，對泛函分析中平方可積函數(shù)、平均收斂、算子等的形成，對一般線性算子理論的創(chuàng)立，以至於對整個泛函分析的形成都起著重要的推動作用。積分方程論中許多思想和方法，例如，關(guān)於第二種弗雷德霍姆（Fredholm）積分方程的弗雷德霍姆理論和奇異積分方程的諾特（Noether）理論以及逐次逼近方法，本身就是數(shù)學中經(jīng)典而優(yōu)美的理論和方法之一。

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