偏微分方程基本理論

前言

　　本書主要介紹二階線性橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程和一階偏微分方程的基本理論?！　‰S著研究生的擴(kuò)招，教材建設(shè)已成為各高校研究生培養(yǎng)工作中亟待解決的頭等大事，作為偏微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析、計(jì)算數(shù)學(xué)等相關(guān)方向研究生的基礎(chǔ)課程，編寫一本合適的偏微分方程基本理論的教材是有意義的.近年來，作者每年都為研究生講授“偏微分方程理論”課程，本書就是在該課程講義的基礎(chǔ)上，經(jīng)多年逐步補(bǔ)充、修改完善而成?！　”緯亩ㄎ皇菫檠芯可颓嗄陮W(xué)者提供一本偏微分方程的入門書.力求用較短的篇幅，盡可能系統(tǒng)地介紹偏微分方程的基本理論和方法.為了便于教師講授和學(xué)生學(xué)習(xí)，本書采用循序漸進(jìn)的方式，第1～4章介紹古典解的基本理論，第5～7章介紹弱解?！　〉?章介紹二階線性橢圓型方程的古典解.內(nèi)容包括基本解、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)、Green函數(shù)、極值原理、最大模估計(jì)、能量方法和變分原理.第2章介紹二階線性拋物型方程的古典解.主要介紹：Fourier變換、幾種特殊的求解方法、基本解、方程式和方程組的最大值原理以及最大模估計(jì)、帶有非經(jīng)典邊界條件和非局部項(xiàng)的方程式的最大值原理及能量方法.第3章介紹二階線性雙曲型方程的古典解.重點(diǎn)是初值問題的求解方法、初值問題的能量不等式與解的適定性，以及混合問題的能量模估計(jì)與解的適定性，第4章介紹一階偏微分方程的基本理論，第5章重點(diǎn)介紹二階線性橢圓型方程的L2理論、De Giorgi迭代和Moser迭代方法，對于Schauder理論和Lp理論，只給出主要結(jié)果而不證明，第6章重點(diǎn)介紹二階線性拋物型方程的L2理論，并給出Schauder理論和Lp理論的主要結(jié)果（不證明），同時(shí)給出一個(gè)非線性方程解的存在性的例子，第7章介紹二階線性雙曲型方程的L2理論。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)介紹了二階線性橢圓型方程、拋物型方程和雙曲型方程以及一階偏微分方程的基本理論。第1～4章介紹古典解，第5～7章介紹弱解。本書的特點(diǎn)是循序漸進(jìn)，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)理論的同時(shí)，注重具體應(yīng)用。書中內(nèi)容深入淺出，文字通俗易懂，并配有適量難易兼顧的習(xí)題。    本書可作為偏微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論及相關(guān)理工科方向研究生的教材和教學(xué)參考書，亦可作為數(shù)學(xué)、工程等領(lǐng)域的青年教師和科研人員的參考書。

書籍目錄

序言第1章  二階線性橢圓型方程的古典解  1.1  全空間上的Laplace方程    1.1.1  基本解    1.1.2  Poisson方程  1.2  全空間上常系數(shù)二階線性橢圓型方程的求解公式  1.3  Green公式與位勢  1.4  調(diào)和函數(shù)的基本積分公式及一些基本性質(zhì)    1.4.1  Neumann邊值問題有解的必要條件    1.4.2  調(diào)和函數(shù)的平均值公式    1.4.3  調(diào)和函數(shù)的極值原理及位勢方程的Dichlet邊值問題解的唯一性    1.4.4  位勢方程的Neumann邊值問題解的“唯一性”  1.5  Green函數(shù)    1.5.1  Green函數(shù)的概念    1.5.2  Green函數(shù)的性質(zhì)  1.6  兩種特殊區(qū)域上的Green函數(shù)及Dirichlet邊值問題的可解性    1.6.1  球上的Green函數(shù)，Poisson公式    1.6.2  上半空間的Green函數(shù)，Poisson公式  1.7  調(diào)和函數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)——Poisson公式的應(yīng)用  1.8  一般形式的二階線性橢圓型方程    1.8.1  古典解的極值原理    1.8.2  古典解的最大模估計(jì)和解的唯一性    1.8.3  弱解的極值原理  1.9  能量方法    1.9.1  能量估計(jì)與解的唯一性    1.9.2   Dirichlet原理  習(xí)題一第2章  二階線性拋物型方程的古典解  2.1  Fourier變換及其應(yīng)用  2.2  基本解方法與初值問題    2.2.1  基本解    2.2.2  初值問題    2.2.3  Cole-Hopf變換  2.3  熱方程的平均值公式  2.4.初邊值問題的極值原理    2.4.1  方程式的經(jīng)典結(jié)論    2.4.2  拋物型方程組的極值原理    2.4.3  非經(jīng)典邊界條件的情形    2.4.4  帶有非局部項(xiàng)的情形  2.5  初邊值問題解的最大模估計(jì)與解的唯一性  2.6  初值問題的極值原理與解的唯一性  2.7  初邊值問題的能量模估計(jì)與解的唯一性  2.8  初邊值問題的基本解，熱位勢與Green函數(shù)    2.8.1  基本解與熱位勢    2.8.2  Green函數(shù)  習(xí)題二第3章  二階線性雙曲型方程的古典解  3.1  初值問題的求解    3.1.1  一維齊次方程的初值問題，D'Alembert公式    3.1.2  球面平均法    3.1.3  非齊次方程，推遲勢    3.1.4  Radon變換方法  3.2  初值問題的能量不等式，解的適定性  3.3  混合問題的能量模估計(jì)與解的適定性    3.3.1  能量守恒與解的唯一性    3.3.2  能量模估計(jì)與解的穩(wěn)定性  習(xí)題三第4章  一階偏微分方程  4.1  一階線性偏微分方程  4.2  輸運(yùn)方程    4.2.1  齊次方程的初值問題    4.2.2  非齊次方程的初值問題  4.3  一階線性雙曲型方程組  4.4  一階擬線性偏微分方程    4.4.1  特征曲線與積分曲面    4.4.2  初值問題  習(xí)題四第5章  二階線性橢圓型方程的弱解  5.1  弱解的存在性    5.1.1  弱解的定義    5.1.2  變分方法    5.1.3  Lax-MiIgram定理和弱解的第一存在定理    5.1.4  Fredholm二擇一定理和弱解的第二、第三存在定理  5.2  解的正則性    5.2.1  差商和W1p（Ω）空間    5.2.2  內(nèi)部正則性    5.2.3  整體正則性  5.3  De Giorgi迭代和Moser迭代    5.3.1  弱解的極值原理    5.3.2  弱解的局部性質(zhì)    5.3.3  Hatnack不等式    5.3.4  內(nèi)部Holder連續(xù)性  5.4  Schauder理論和Lp理論的主要結(jié)果    5.4.1  Schaudei估計(jì)    5.4.2  Lp估計(jì)    5.4.3  解的存在性和估計(jì)  5.5  一個(gè)應(yīng)用  習(xí)題五第6章  二階線性拋物型方程的弱解  6.1  引言  6.2  能量不等式與弱解的唯一性  6.3  弱解的存在性  6.4  常系數(shù)方程弱解的W2,12（Qτ）正則性  6.5  Schauder理論和Lp理論的主要結(jié)果    6.5.1  Schauder估計(jì)和Lp估計(jì)    6.5.2  解的存在性    6.5.3  應(yīng)用一非線性方程解的存在性  6.6  二階線性拋物型方程的初值問題  習(xí)題六第7章  二階線性雙曲型方程的弱解  7.1  弱解的定義  7.2  弱解的存在性和唯一性    7.2.1   Galerkin逼近    7.2.2  能量估計(jì)    7.2.3  弱解的存在性和唯一性  7.3  弱解的正則性  習(xí)題七參考文獻(xiàn)

編輯推薦

　　《偏微分方程基本理論》的定位是為研究生和青年學(xué)者提供一本偏微分方程的入門書。力求用較短的篇幅，盡可能系統(tǒng)地介紹偏微分方程的基本理論和方法。作為偏微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析、計(jì)算數(shù)學(xué)等相關(guān)方向研究生的基礎(chǔ)課程，編寫一本合適的偏微分方程基本理論的教材是有意義的。近年來，作者每年都為研究生講授“偏微分方程理論”課程?！镀⒎址匠袒纠碚摗肪褪窃谠撜n程講義的基礎(chǔ)上，經(jīng)多年逐步補(bǔ)充、修改完善而成。 《偏微分方程基本理論》主要介紹二階線性橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程和一階偏微分方程的基本理論。

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