有限元理論與方法（共3冊）

前言

　　由于偏微分方程在理論和實踐上的重要性，其數(shù)值解法長期以來吸引著數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師們的關(guān)注，一種數(shù)值方法包括它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其在計算機(jī)上的實現(xiàn)，都緊緊地依賴于理論數(shù)學(xué)的發(fā)展和計算手段的改善，計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)代大型高速電子計算機(jī)的出現(xiàn)，對數(shù)值方法沖擊之大，是歷史上從來未有過的，作為求解偏微分方程的一個強(qiáng)有力手段——有限元方法，正是電子計算機(jī)時代的產(chǎn)物?！　∮邢拊椒ㄞ饤壛丝坍嬜匀灰?guī)律中局部的、瞬時的數(shù)學(xué)描述，而以大范圍的、全過程的數(shù)學(xué)分析作為自己的出發(fā)點，局部和整體、瞬時和全過程，只是以兩種不同的角度來描述自然現(xiàn)象，一個過程，既可以被微分方程所描述，又服從相應(yīng)的變分原理，方法雖然不同，卻從不同的側(cè)面來反映同一自然規(guī)律。　　數(shù)值分析的任務(wù)就是從無限維空間轉(zhuǎn)化到有限維空間，把連續(xù)型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散型結(jié)構(gòu)，有限元方法是利用函數(shù)分片多項式逼近模式來實現(xiàn)離散化過程的，也就是說，有限元方法所依賴的有限維子空間，其基函數(shù)系是具有有限支集的分片多項式函數(shù)系，這樣的函數(shù)系與大范圍分析相結(jié)合，反映了場內(nèi)任何兩個局部地點場變量的相互依賴關(guān)系，任何一個局部地點，它的影響元素集，正是基函數(shù)本身和它的支集，因此，離散化所得到的代數(shù)方程的系數(shù)矩陣是稀疏的，若區(qū)域分割細(xì)小化，則支集不相交的基函數(shù)對愈多，矩陣也就愈稀疏，這給數(shù)值解法帶來了極大的好處，標(biāo)準(zhǔn)正規(guī)有限元的數(shù)學(xué)描述和程序化過程是完美的，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是完善的和穩(wěn)固的，應(yīng)用對象無論是科學(xué)的還是技術(shù)和工業(yè)的，都是無與倫比的，這就是它取得如此成功的關(guān)鍵所在。　　應(yīng)該說除了微積分之外沒有-種數(shù)學(xué)方法會像有限元方法一樣在科學(xué)、技術(shù)、工業(yè)工程以及社會科學(xué)中有如此廣泛的應(yīng)用，目，獲得如此巨大的成功，不斷涌現(xiàn)的商用有限元軟件包如NASTRAN，ASKA，ADINA，（COMSOL，F(xiàn)IDAP，NuMECA等涉及到科學(xué)、技術(shù)的廣泛領(lǐng)域，每年有幾萬個用戶、花費(fèi)幾億美元來不斷研發(fā)新的有限元軟件。　　有限元方法發(fā)展的歷史，可以追溯到1943年Courant提出在一個三角形內(nèi)的線性逼近思想，而從變分原理來離散化數(shù)學(xué)物理問題，Courant以及前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Mihelin等早在20世紀(jì)四五十年代就已建立了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和求解思想，20世紀(jì)50年代西方工程師們提出的結(jié)構(gòu)矩陣分析方法被發(fā)展成為后來的有限元，尤其是20世紀(jì)60年代后，愈來愈多的數(shù)學(xué)家涉足這個領(lǐng)域，使得有限元的發(fā)展納入數(shù)學(xué)的軌道，從逐漸完善數(shù)學(xué)的描述，到建立牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及提出各種新型非標(biāo)準(zhǔn)有限元等?！　≡谟邢拊l(fā)展歷史中，不得不提及中國數(shù)學(xué)家在有限元方面做過的突出貢獻(xiàn)。

內(nèi)容概要

本書由32位國內(nèi)外專家經(jīng)過幾年的努力編著而成。內(nèi)容包括有限元方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及程序?qū)崿F(xiàn)、時間相關(guān)有限元、有限元外推、超收斂、多重網(wǎng)格法、區(qū)域分裂法、非標(biāo)準(zhǔn)有限元，以及有限元法在彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、巖土力學(xué)、流體力學(xué)、滲流力學(xué)和電磁場等領(lǐng)域的應(yīng)用。這些內(nèi)容不但反映了有限元方法所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、國際上在這些領(lǐng)域的最新成果，而且著重反映了國內(nèi)專家在上述各方面所做的部分工作。    本書可以作為高等院校數(shù)學(xué)、力學(xué)及相關(guān)專業(yè)研究生和教師的教學(xué)用書，也可作為從事有關(guān)科學(xué)計算及工程應(yīng)用的科研人員和工程技術(shù)人員的工具書。

書籍目錄

第一分冊　第一篇  有限元法基礎(chǔ)　　第1章  有限元法構(gòu)造　　第2章  單元及形狀函數(shù)　　第3章  有限元法解題過程　　第4章  Sobolev空間　第二篇  非標(biāo)準(zhǔn)有限元法　　第1章  混合元與雜交元　　第2章  非協(xié)調(diào)元　　第3章  間斷有限元　　第4章  邊界元及與有限元耦合法　　第5章  元限元　　第6章  橢圓邊值問題奇異性的結(jié)合法　　第7章  h-p有限元方法　　第8章  特征值問題的有限元逼近第二分冊　第三篇  時間相關(guān)問題　　第1章  拋物問量題的有限元方法　　第2章  波動問題有限元法　　第3章  對流中優(yōu)擴(kuò)散問題的有限元方法　　第4章  一階雙曲方程（組）有限元方法　　第四篇  有限元的超收斂、后處理和自適應(yīng)　　第1章  有限元的超收斂性　　第2章  有限元法的超收斂和后處理　　第3章  有限元的后驗估計及自適應(yīng)　第五篇  有限元代數(shù)方程求解　　第1章  有限元代數(shù)方程求解的直接法　　第2章  預(yù)處理迭代法　　第3章  多層網(wǎng)格法　　第4章  區(qū)域分解算法　　第5章  有限元代數(shù)特征值問題第三分冊　第六篇  有限元法法應(yīng)用　　第1章  彈性力學(xué)　　第2章  基于平面彈性-板彎曲模擬關(guān)系的新一類薄板有限元　　第3章  薄區(qū)域彈性殼體和板有限元分析　　第4章  彈性力學(xué)和巖土力學(xué)有限元法　　第5章  變分不等式有限元法　　第6章  黏性流動的Navier-Stokes方程　　第7章  定常的Navier-Stokes方程的有限元逼近　　第8章  滲流力學(xué)　　第9章  電磁場

章節(jié)摘錄

　　第一分冊　　第一篇　有限元法基礎(chǔ)　　第1章　拋物問題的有限元方法　　拋物方程是一類基本的發(fā)展型偏微分方程，用于描寫熱傳導(dǎo)、分子擴(kuò)散、多孔介質(zhì)中滲流等隨時間發(fā)展變化的規(guī)律和過程。求解拋物方程的初邊值問題在科學(xué)與工程中有著廣泛的應(yīng)用，屬于典型的時間相關(guān)問題?！　佄飭栴}的有限元法與橢圓方程邊值問題的有限元法（見本書第一篇）有許多共同之處，如需從問題的弱（變分）形式出發(fā)，將求解空間區(qū)域剖分為單元并構(gòu)造單元形狀函數(shù)及相應(yīng)的有限元空間等。然而，拋物問題中含有時間（自）變量，經(jīng)過類似于橢圓邊值問題的有限元近似（關(guān)于空間變量）之后，所得到的是一個一階常微分方程組，其初值問題通常稱為原拋物問題的“半離散”近似。這里，為了計算數(shù)值解，尚需進(jìn)一步作時間變量的離散化，以建立拋物問題的全離散格式。應(yīng)該看到，半離散近似中的常微分方程組實屬“剛性”（病態(tài)）系統(tǒng)，因此，在構(gòu)造或選用全離散格式時，既要考慮格式的逼近精度，也必須顧及穩(wěn)定性的要求以及求解的復(fù)雜性和計算量?！　”菊聦⒁詿醾鲗?dǎo)方程的初邊值問題為主要模型，介紹拋物問題的半離散與全離散化途徑、求解的計算方法，并將適當(dāng)介紹一些關(guān)于收斂性、穩(wěn)定性和誤差估計的理論結(jié)果。無疑，所介紹的絕大多數(shù)計算方法也包括它們的理論分析結(jié)果均可推廣到一般的二階線性拋物方程。

編輯推薦

　　《有限元理論與方法(共3冊)》邀請了32位專家，從有限元數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)描述開始，介紹了標(biāo)準(zhǔn)有限元的數(shù)學(xué)理論、有限元方程組求解、特征值問題、非標(biāo)準(zhǔn)有限元、時間相關(guān)有限元、有限元超收斂、自適應(yīng)有限元以及有限元在彈性力學(xué)、障礙問題、流體力學(xué)、環(huán)境科學(xué)、滲流力學(xué)、電磁學(xué)等各個領(lǐng)域的應(yīng)用?！队邢拊碚撆c方法(共3冊)》可供各大專院校作為教材使用，也可供從事相關(guān)工作的人員作為參考用書使用。

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