計算幾何中的幾何偏微分方程方法

前言

　　計算幾何是由函數(shù)逼近論、微分幾何以及計算數(shù)學等交叉形成的學科，它研究幾何形狀的構(gòu)造及計算機表示、分析和綜合，是計算機輔助幾何設(shè)計的數(shù)學基礎(chǔ)，從20世紀60年代起，計算機輔助設(shè)計和計算機輔助制造開始進入造船、航空和汽車工業(yè)產(chǎn)品的外形設(shè)計和制造領(lǐng)域中．在電子計算機飛速發(fā)展和工業(yè)設(shè)計廣泛應(yīng)用的刺激之下，計算幾何這一學科得到了蓬勃發(fā)展，已經(jīng)出現(xiàn)了Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面、NURBS曲線曲面、細分曲線曲面以及微分方程曲線曲面等一系列方法，形成了以參數(shù)曲面、隱式曲面以及離散曲面為表示方法，以插值和逼近為構(gòu)造方法的理論體系．目前，計算機輔助幾何設(shè)計仍然是很吸引人的研究領(lǐng)域，眾多從事經(jīng)典函數(shù)逼近論、微分幾何、計算數(shù)學以及計算機圖形學等方面的研究專家投身于此，極大地刺激了這一領(lǐng)域向更縱深領(lǐng)地發(fā)展，計算幾何中的幾何偏微分方程方法就是在這一背景之下產(chǎn)生的新興研究領(lǐng)域?！　”娝苤?，偏微分方程是用來描述自變量、未知函數(shù)及其偏導數(shù)之間關(guān)系的方程．而幾何偏微分方程常用來指作為控制曲面或一般流形運動的、除時間變量外只含有幾何量的偏微分方程，幾何偏微分方程是幾何本質(zhì)的，即它們不依賴具體的參數(shù)化．更重要的是，滿足幾何偏微分方程的曲面通常具有某些全局最優(yōu)性質(zhì)，如平均曲率流、Willmore流、極小平均曲率變差流等能使面積極小、平均曲率平方極小、平均曲率的變化極小等，這些性質(zhì)使得所產(chǎn)生的曲面具有十分理想的光順效果乃至藝術(shù)美感。

內(nèi)容概要

本書的主要內(nèi)容包括幾何偏微分方程的構(gòu)造方法、各種微分幾何算子的離散化方法及其離散格式的收斂性、幾何偏微分方程數(shù)值求解的有限差分法、有限元法以及水平集方法，還包括幾何偏微分方程在曲面平滑、曲面拼接、Ⅳ邊洞填補、自由曲面設(shè)計、曲面重構(gòu)、曲面恢復、分子曲面構(gòu)造以及三維實體幾何形變中的應(yīng)用。    本書內(nèi)容新穎、文字簡練、可讀性強，可作為理工科院校的應(yīng)用數(shù)學、計算數(shù)學、計算幾何、計算機輔助設(shè)計以及計算機圖形學等專業(yè)本科生和研究生的教材，也可作為在上述領(lǐng)域中從事研究工作的廣大科技工作者的參考書。

書籍目錄

《信息與計算科學叢書》序前言符號說明第1章 微分幾何基礎(chǔ)　1.1 曲面的參數(shù)表示　1.2 曲面的曲率　1.3 曲面的基本方程　1.4 Gauss-Bonnet定理　1.5 曲面上的微分算子　1.6 微分算子的基本性質(zhì)　1.7 作用于曲面和法向上的微分算子　1.8 曲面的整體性質(zhì)　1.9 水平集曲面的微分幾何第2章 參數(shù)形式幾何偏微分方程的構(gòu)造　2.1 曲面的變分　2.2 二階歐拉-拉格朗日算子　2.3 四階歐拉-拉格朗日算子　2.4 六階歐拉-拉格朗日算子　2.5 其他歐拉-拉格朗日算子　2.6 梯度流　2.7 其他幾何流　2.8 注記　2.9 相關(guān)工作第3章 水平集形式幾何偏微分方程的構(gòu)造　3.1 水平集的變分　3.2 二階歐拉-拉格朗日算子　3.3 四階歐拉-拉格朗日算子　3.4 六階歐拉-拉格朗日算子　3.5 水平集曲面的L2梯度流　3.6 水平集曲面的H-1梯度流第4章 微分幾何算子的離散化　4.1 三角形網(wǎng)格上離散LB算子及其收斂性　4.2 四邊形網(wǎng)格上離散LB算子及其收斂性　4.3 三角形網(wǎng)格上高斯曲率的離散化及其收斂性　4.4 四邊形網(wǎng)格上離散高斯曲率及其收斂性　4.5 微分幾何算子的相容性離散化　4.6 相關(guān)工作第5章 離散曲面設(shè)計的類有限差分法及其應(yīng)用　5.1 引言　5.2 特殊形式的2k階幾何偏微分方程　5.3 一般形式的四階幾何偏微分方程　5.4 極小平均曲率變差流　5.5 關(guān)于收斂性的注記第6章 連續(xù)曲面設(shè)計的類有限差分法及其應(yīng)用　6.1 幾何偏微分方程Bezier曲面的構(gòu)造　6.2 幾何偏微分方程樣條曲面的構(gòu)造　6.3 相關(guān)工作第7章 離散曲面設(shè)計的有限元方法及其應(yīng)用　7.1 曲面上的Sobolev空間　7.2 有限元空間　7.3 二階幾何偏微分方程　7.4 四階幾何偏微分方程　7.5 六階幾何偏微分方程　7.6 相關(guān)工作第8章 連續(xù)曲面設(shè)計的有限元方法及其應(yīng)用　8.1 幾何偏微分方程Bezier曲面　8.2 幾何偏微分方程樣條曲面的設(shè)計　8.3 Bezier和樣條曲面的規(guī)整化　8.4 關(guān)于有限差分法與有限元方法　8.5 附錄：數(shù)值積分第9章 曲面設(shè)計的水平集方法及其應(yīng)用　9.1 引言　9.2 預備知識　9.3 局部水平集方法　9.4 水平集方法在幾何設(shè)計中的應(yīng)用參考文獻索引

章節(jié)摘錄

　　關(guān)于平均曲率的數(shù)值計算已有大量的工作，如文獻［67］，［68］等。相應(yīng)的數(shù)值分析可參看文獻［69］－［71］等。關(guān)于平均曲率流的計算在Acta Numerica 上有一篇綜述性的文章［72］，其中，介紹了平均曲率流在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如晶界的運動，曲面的生長、圖像處理、低溫固化中的Stefan問題等，然后依曲面的下述表達形式給出了相應(yīng)的4種數(shù)值計算與分析結(jié)果的概述，即函數(shù)形式、參數(shù)形式、水平集形式、相場形式（一種特殊的水平集形式）。到目前為止，關(guān)于函數(shù)形式與水平集形式有比較豐富的結(jié)果，對參數(shù)形式的結(jié)果相對少一些，感興趣的讀者請參考該文獻及其所引的參考文獻。平均曲率流也是曲面設(shè)計中應(yīng)用最多的幾何流，可參見文獻［22］，［73］，［74］等?！　「咚骨柿魇橇硪粋€重要的二階幾何流，該流由Firey在文獻［32］中用來作為研究海邊卵石磨損過程的一種模型而引入，較多的研究工作關(guān)注該流的理論結(jié)果，如文獻［33］－［35］，［75］－［77］等。該流的數(shù)值計算及應(yīng)用見文獻［78］，［79］等。

編輯推薦

　　計算幾何中的幾何偏微分方程方法是一個具有廣闊發(fā)展前景且非常新穎的研究領(lǐng)域，目前仍處在初創(chuàng)階段，尚無這方面的專門著作出版?！队嬎銕缀沃械膸缀纹⒎址匠谭椒ā方榻B的內(nèi)容是作者在這一領(lǐng)域的研究結(jié)果和工作體會，編者希望把幾何偏微分方程方法發(fā)展成為計算幾何領(lǐng)域中的一個系統(tǒng)而完整的方法。但目前的工作仍不夠深入系統(tǒng)，在《計算幾何中的幾何偏微分方程方法》的各章中，將隨時提出一些亟待解決的問題，供有興趣的讀者進一步研究。　　《計算幾何中的幾何偏微分方程方法》涵蓋了微分幾何基礎(chǔ)、參數(shù)形式幾何偏微分方程的構(gòu)造、水平集形式幾何偏微分方程的構(gòu)造、微分幾何算子的離散化、離散曲面設(shè)計的類有限差分法及其應(yīng)用、連續(xù)曲面設(shè)計的類有限差分法及其應(yīng)用等內(nèi)容。

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