高等數(shù)學新講（上下冊）

前言

　　微積分學是高等數(shù)學最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的基礎(chǔ)，它的應用涉及人類科技和生產(chǎn)活動的幾乎所有領(lǐng)域，它的創(chuàng)立，被看成人類精神的最高勝利?！　∥⒎e分學的產(chǎn)生與建立，與兩個數(shù)學問題直接相關(guān)。一個是求做已知曲線的切線，這是微分學的基本問題；另一個是求平面曲線包圍的區(qū)域的面積，這是積分學的基本問題。牛頓和萊布尼茨各自獨立地幾乎同時發(fā)現(xiàn)了這兩類問題之間的密切聯(lián)系，并由此創(chuàng)建了系統(tǒng)的方法，從而被大家看成微積分學的創(chuàng)始人。　　其實，微積分學是長期演變的結(jié)果。它既不是從牛頓一萊布尼茨開始的，也不是由他們完成的。如果從牛頓·萊布尼茨時代算起，距今已有300多年的歷史。牛頓一萊布尼茨時的微積分是不嚴格的。為了建立微積分的嚴格數(shù)學基礎(chǔ)，一批卓越的數(shù)學家作出了不懈的努力。在18世紀，麥克勞林、達朗貝爾、歐拉和拉格朗日等都進行過有關(guān)的研究，這個方向的努力進行了100多年，才有了成效。直到19世紀50年代，經(jīng)過波爾察諾、柯西、維爾斯特拉斯、戴德金和康托爾等人的相繼工作，才建立了微積分的嚴密的理論體系。在數(shù)學史上，這是一段精彩的篇章。　　微積分的嚴格化，基于極限概念的建立和嚴格化。所謂的極限概念的嚴格化，要歸功于柯西和維爾斯特拉斯所提出的極限定義方法?！　≡?50多年間，大學數(shù)學系里一直按照法講授微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容。由于這種方法艱深抽象，難于理解，多數(shù)非數(shù)學專業(yè)在講授高等數(shù)學時就對有關(guān)極限的一些重要的基本概念僅僅作直觀的描述，而不要求掌握嚴謹?shù)倪壿嬐评?。許多理工科學生，由于沒有掌握語言的極限概念，始終不能理解他們所用的許多公式的來龍去脈，無可奈何地安于知其然而不知其所以然的境地。如何使微積分入門教學變得容易，使大多數(shù)學習高等數(shù)學的人能夠真正理解人類精神文明的這一偉大成果，是國際數(shù)學教育領(lǐng)域的百年難題?！　‘敶臄?shù)學家阿蒂亞在1976年就任倫敦數(shù)學會主席時的演說中，有這樣幾句話：“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一”。“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解?！?/pre>


內(nèi)容概要
　　《高等數(shù)學新講（上下）》的上冊屬于高等數(shù)學課程中一元微積分的內(nèi)容?！陡叩葦?shù)學新講（上下）》與同類教材不同之處是開始不講極限，而是開門見山，簡捷而嚴謹?shù)匾牒瘮?shù)的導數(shù)與微分，接著按導數(shù)的應用、定積分和不定積分、定積分的應用等內(nèi)容順序深入展開。在學生初步掌握微積分的方法和原理的基礎(chǔ)上，再深入介紹數(shù)列極限與無窮級數(shù)、函數(shù)的極限和連續(xù)性、極限與導數(shù)、極限與定積分等概念的傳統(tǒng)講法。編著者力求說理清楚，實例豐富，直觀而不模糊，嚴謹而不繁瑣，以期讀者能夠真正學懂微積分?！　　陡叩葦?shù)學新講（上下）》的下冊，覆蓋了高等數(shù)學課程中多元微積分有關(guān)內(nèi)容。作為準備知識，書中先介紹了空間解析幾何與向量代數(shù)的基本概念和方法，然后順次講述多元函數(shù)微分法及其應用、重積分、曲線積分、曲面積分、函數(shù)項級數(shù)和常微分方程初步等。其中微分方程求解部分引入了更方便計算的新方法。書中有豐富的例題和習題，有助于學生進修和考研?！　　陡叩葦?shù)學新講（上下）》可作為各類高校非數(shù)學專業(yè)高等數(shù)學課的教材或參考書，文科類專業(yè)使用時部分內(nèi)容可以省略。



書籍目錄
上冊出版說明序預備知識：集合與函數(shù)第1章 函數(shù)的導數(shù)與微分1.1 函數(shù)的導數(shù)1.1.1 導數(shù)的概念1.1.2 導數(shù)的惟一性及簡單的導數(shù)公式習題1.11.2 導數(shù)的性質(zhì)1.2.1 導數(shù)不變號則函數(shù)單調(diào)1.2.2 第一單調(diào)定理1.2.3 第二單調(diào)定理1.2.4 強可導函數(shù)導數(shù)差商有界1.2.5 導數(shù)的不等式和估值定理習題1.21.3 求導法則1.3.1 乘積函數(shù)的求導法則1.3.2 復合函數(shù)的求導法則1.3.3 函數(shù)倒數(shù)與函數(shù)商的求導法則1.3.4 反函數(shù)的求導法則習題1.31.4 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式1.4.1 自然對數(shù)的概念與性質(zhì)1.4.2 指數(shù)函數(shù)y=ex的概念與性質(zhì)習題1.41.5 基本初等函數(shù)及初等函數(shù)的導數(shù)習題1.51.6 幾種特殊求導法1.6.1 隱函數(shù)求導法1.6.2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則1.6.3 取對數(shù)求導法習題1.61.7 高階導數(shù)習題1.71.8 函數(shù)的微分1.8.1 微分的概念1.8.2 基本初等函數(shù)微分公式與微分法則1.8.3 微分在近似計算中的應用習題1.8總習題1科學家簡介第2章 導數(shù)的應用2.1 泰勒（Taylor）公式習題2.12.2 函數(shù)單調(diào)性的判定習題2.22.3 函數(shù)曲線凹凸性的判定習題2.32.4 函數(shù)的極值與最值2.4.1 函數(shù)的極值2.4.2 函數(shù)的最值習題2.4總習題2科學家簡介第3章 定積分和不定積分3.1 定積分與微積分基本定理3.1.1 定積分的公理化定義3.1.2 差商有界函數(shù)積分系統(tǒng)的惟一性3.1.3 微積分學基本定理（牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式）3.1.4 變上限的定積分習題3.13.2 原函數(shù)與不定積分3.2.1 原函數(shù)與不定積分的概念3.2.2 不定積分的性質(zhì)習題3.23.3 換元積分法3.3.1 第1類換元積分法3.3.2 第2類換元積分法習題3.33.4 分部積分法習題3.43.5 幾種特殊類型函數(shù)的積分3.5.1 有理函數(shù)的積分3.5.2 三角函數(shù)有理式的積分3.5.3 簡單無理式的積分習題3.53.6 定積分的計算習題3.63.7 定積分的換元法和分部積分法3.7.1 定積分的換元積分法3.7.2 定積分的分部積分法習題3.7總習題3科學家簡介第4章 定積分的應用4.1 平面圖形的面積4.1.1 平面直角坐標系下面積的計算4.1.2 極坐標情形4.1.3 參數(shù)方程情形習題4.14.2 空間立體的體積4.2.1 平行截面面積為已知的立體的體積（截面法）4.2.2 旋轉(zhuǎn)體的體積習題4.24.3 平面曲線的弧長4.3.1 直角坐標情形4.3.2 參數(shù)方程情形4.3.3 極坐標情形習題4.34.4 功、水壓力和引力4.4.1 變力沿直線所做的功4.4.2 水壓力4.4.3 引力習題4.4總習題4科學家簡介第5章 數(shù)列極限與無窮級數(shù)5.1 實數(shù)集的連續(xù)性和連續(xù)歸納法5.1.1 實數(shù)集的連續(xù)性5.1.2 連續(xù)歸納法5.1.3 確界原理習題5.15.2 數(shù)列極限的概念5.2.1 數(shù)列極限的“∈一N”語言5.2.2 無界不減數(shù)列5.2.3 數(shù)列極限的“D-”語言習題5.25.3 收斂數(shù)列的性質(zhì)與運算5.3.1 收斂數(shù)列的性質(zhì)5.3.2 數(shù)列極限的運算性質(zhì)5.3 ，3數(shù)列極限的存在準則習題5.35.4 數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)5.4.1 基本概念5.4.2 級數(shù)的基本性質(zhì)習題5.45.5 正項級數(shù)的判別法5.5.1 積分判別法5.5.2 比較判別法5.5.3 比值判別法和根值判別法習題5.55.6 一般項級數(shù)5.6.1 交錯級數(shù)5.6.2 絕對收斂與條件收斂習題5.6總習題5科學家簡介第6章 函數(shù)的極限和連續(xù)性6.1 函數(shù)極限的概念6.1.1 函數(shù)極限的“￡一”語言6.1.2 無界單調(diào)函數(shù)6.1.3 函數(shù)極限的“D一”語言習題6.16.2 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算第7章 極限與導數(shù)第8章 極限與定積分附錄習題答案下冊第9章 空間解析幾何與向量代數(shù)第10章 多元函數(shù)微分法及其應用第11章 重積分第12章 曲線積分第13章 曲面積分第14章 函數(shù)項級數(shù)第15章 微風方程初步習題答案


章節(jié)摘錄
　　第1章　函數(shù)的導數(shù)與微分　　層數(shù)與微分是微積分學的重要概念。對它們的性質(zhì)和應用的研究，構(gòu)成了微分學的主體。　　1.1　函數(shù)的導數(shù)　　世界上的一切事物，都在或快或慢的過程之中。函數(shù)是描述確定性變化過程的一種數(shù)學模型。函數(shù)的導數(shù)，則定量地刻畫了變化的速度?！　?.1.1　導數(shù)的概念　　導數(shù)概念的產(chǎn)生源于兩個問題：一個是幾何學中確定曲線切線斜率的問題，另一個是運動學中計算瞬時速度的問題?！　　?/pre>




編輯推薦
　　微積分學是高等數(shù)學最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的基礎(chǔ)，它的應用涉及人類科技和生產(chǎn)活動的幾乎所有領(lǐng)域，它的創(chuàng)立，被看成人類精神的最高勝利?！　”緯譃樯?、下兩冊，上冊開門見山地引入函數(shù)的導數(shù)與微分，接著按導數(shù)的應用、定積分和不定積分、定積分的應用等內(nèi)容順序深入展開。下冊覆蓋了高等數(shù)學課程中多元微積分有關(guān)內(nèi)容。本書還安排了難度不同的多種類型的習題，附錄中提供了計算題的答案。





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