復(fù)變函數(shù)教程

前言

　　本書作為復(fù)變函數(shù)論的入門教程，可供對微積分有一定了解的學(xué)生使用為了加深學(xué)生對微積分理論的認識，作者較詳細地介紹了復(fù)變函數(shù)的微積分理論，并強調(diào)從實分析的某些內(nèi)容過渡到復(fù)分析的過程中可能出現(xiàn)的新現(xiàn)象及遇到的障礙本　　書可以作為高等院校理工科、師范院校等若干專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程的教材及科技工程技術(shù)人員的參考書?！　”緯环矫嫒趸藦?fù)變函數(shù)論中的一些傳統(tǒng)內(nèi)容，如Riemann面、解析延拓、共形映射、邊值問題等，對Riemann映射定理、Schwarz和Christoffel (1829～1900)多角形映射定理、Picard定理、Dirichlet問題等不展開討論我們認為這些內(nèi)容在專題課程中介紹效果會更好另一方面，強化了復(fù)變函數(shù)論中的一些基本內(nèi)容，如最基本的Cauchy定理?！　〉?至7章為復(fù)變函數(shù)課程的基本內(nèi)容，包括復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)（微積分理論）、全純函數(shù)、調(diào)和函數(shù)、解析函數(shù)、奇點理論和亞純函數(shù)等內(nèi)容其中，我們嘗試通過習(xí)題盡可能反映復(fù)變函數(shù)理論自身的發(fā)展以及與微分幾何和微分方程等學(xué)科的聯(lián)系，　　第8章和第9章可作為本書選擇內(nèi)容供教師或?qū)W生參考，側(cè)重介紹三個重要的特殊函數(shù)：函數(shù)、Riemann（函數(shù)、Weierstrass函數(shù)希望通過這三個函數(shù)，讀者可對復(fù)變函數(shù)在數(shù)論中的應(yīng)用有初步了解。　　本書是受吳臻教授邀請為山東大學(xué)本科生教材改革而作．作者感謝山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，特別是劉建亞院長和吳臻副院長在寫作過程中所給予的支持和在出版過程中的幫助作者感謝香港科技大學(xué)數(shù)學(xué)系在寫作過程中提供的幫助；感謝國家自然科學(xué)基金委員會多年的資助；感謝科學(xué)出版社，特別是張揚編輯為出版此書作出了努力楊重駿(Chung-Chun Yang)教授曾仔細地閱讀原稿并提出了有價值的意見，儀洪勛教授和楊連中教授審閱了原稿，我的研究生和2006級基地班的學(xué)生指出了原稿中的一些缺點，作者在此表示感謝。　　扈培礎(chǔ)　　2008年3月3日

內(nèi)容概要

　　《復(fù)變函數(shù)教程》一書主要介紹了復(fù)變函數(shù)的微積分理論，并強調(diào)從實分析的某些內(nèi)容過渡到復(fù)分析的過程中可能出現(xiàn)的新現(xiàn)象及遇到的障礙.前7章為復(fù)變函數(shù)課程的基本內(nèi)容，包括復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)(微積分理論)、全純函數(shù)、調(diào)和函數(shù)、解析函數(shù)、奇點理論和亞純函數(shù)等內(nèi)容.第8章和第9章介紹三個重要的特殊函數(shù)： 函數(shù)、Riemann函數(shù)、Weierstrass 函數(shù)?！稄?fù)變函數(shù)教程》一書適合高校數(shù)學(xué)專業(yè)師生及相關(guān)專業(yè)科研人員閱讀參考。

作者簡介

　　扈培礎(chǔ)，男，1961.8出生，博士學(xué)位、教授，山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究所所長，印度數(shù)學(xué)雜志JAA編委。1978-1982年山東大學(xué)數(shù)學(xué)系計算數(shù)學(xué)（原）專業(yè)本科生，獲學(xué)士學(xué)位；1982-1985年山東大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生，獲碩士學(xué)位；1985-1993年山東大學(xué)數(shù)學(xué)系任助教、講師等；1993-1996年香港科技大學(xué)數(shù)學(xué)系助教、博士生，獲博士學(xué)位；曾經(jīng)在香港科技大學(xué)、日本山形大學(xué)等地多次工作訪問。

書籍目錄

前言第1章　復(fù)數(shù)1.1　復(fù)數(shù)域1.1.1　代數(shù)運算1.1.2　共軛復(fù)數(shù)1.1.3　絕對值（模）1.2　復(fù)數(shù)的幾何表示1.2.1　復(fù)平面1.2.2　三角表示1.2.3　二項方程1.2.4　球面表示1.3　復(fù)平面的拓撲1.3.1　拓撲概念1.3.2　連通性1.3.3　完備性1.3.4　簡單曲線1.4　復(fù)數(shù)的指數(shù)表示1.4.1　復(fù)數(shù)級數(shù)1.4.2　指數(shù)表示1.5　線性變換1.5.1　線性變換轉(zhuǎn)化條件1.5.2　分式線性變換1.5.3　交比1.5.4　對稱性1.5.5圓族第2章　復(fù)變函數(shù)2.1　連續(xù)函數(shù)2.1.1　函數(shù)概念2.1.2　函數(shù)極限2.1.3　連續(xù)性2.2　導(dǎo)數(shù)2.2.1　導(dǎo)數(shù)概念2.2.2　可導(dǎo)必要條件2.2.3　高階導(dǎo)數(shù)2.3　微分與全微分2.3.1　微分2.3.2　全微分2.3.3　可導(dǎo)充分條件2.4　可積函數(shù)2.4.1　積分概念2.4.2　積分性質(zhì)2.5　一致收斂性2.5.1　函數(shù)序列2.5.2　函數(shù)級數(shù)2.6　正合微分2.6.1　積分與路徑無關(guān)條件2.6.2　不定積分2.7　多值復(fù)變函數(shù)2.7.1　輻角函數(shù)2.7.2　對數(shù)函數(shù)2.7.3　反三角函數(shù)第3章　全純函數(shù)3.1　全純與共形3.1.1　全純概念3.1.2　共形映射3.2　Cauchy定理3.2.1　單連通區(qū)域情形3.2.2　多連通區(qū)域情形3.3　Cauchy公式3.3.1　積分表示3.3.2　導(dǎo)數(shù)公式3.4　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用3.4.1　全純與偏導(dǎo)數(shù)3.4.2　Cauchy不等式3.5Cauchy定理一般形式3.5.1　單連通性3.5.2　同調(diào)閉鏈3.6全純與閉路徑積分3.6.1　Morera定理3.6.2　Weierstrass定理第4章　調(diào)和函數(shù)4.1　Laplace方程4.2　調(diào)和與全純4.2.1　共軛微分4.2.2　共軛調(diào)和函數(shù)4.3　均值性質(zhì)4.4　Poisson公式第5章　解析函數(shù)5.1　冪級數(shù)5.2　全純與解析5.3　解析函數(shù)的零點5.3.1　唯一性定理5.3.2　零點孤立性5.4　解析延拓5.4.1　延拓概念5.4.2　冪級數(shù)延拓法5.4.3　對稱原理第6章　奇點理論6.1　Laurent理論6.1.1　Laurent級數(shù)6.1.2　Laurent展式6.2　奇點分類及特征6.2.1　孤立奇點6.2.2　極點特征6.2.3　本性奇點6.2.4　無窮遠點6.3　留數(shù)計算6.3.1　留數(shù)定理6.3.2　極點留數(shù)6.4　求定積分6.4.1　三角函數(shù)有理式積分6.4.2　有理函數(shù)無窮積分6.4.3　含三角函數(shù)無窮積分第7章　亞純函數(shù)7.1　輻角原理7.1.1　亞純概念7.1.2　輻角原理7.1.3　Rouche定理7.2　極值原理7.2.1　開映射7.2.2　極值原理7.3　Mittag-Leftler定理7.4　Poisson-Jensen公式7.4.1　Poisson-Jensen公式7.4.2　Jensen公式第8章　整函數(shù)8.1　無窮乘積8.1.1　收斂與發(fā)散8.1.2　絕對收斂8.1.3　一致收斂8.2　整函數(shù)因子分解8.2.1　因子分解問題8.2.2　因子分解定理8.3　Γ函數(shù)8.3.1　Gauss公式8.3.2　典型乘積表示8.3.3　Γ函數(shù)特征8.4　Riemann ζ函數(shù)8.4.1　Euler乘積8.4.2　延拓公式8.4.3　函數(shù)方程第9章　橢圓函數(shù)9.1　模與格9.1.1　模9.1.2　格9.2　周期函數(shù)9.2.1　周期概念9.2.2　周期平行四邊形9.2.3　四個基本定理9.3　Weierstrass理論9.3.1　Weierstrass p函數(shù)9.3.2　Weierstrass σ函數(shù)9.3.3　微分方程9.4　自守函數(shù)參考文獻符號索引名詞索引

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