微分方程的對(duì)稱與積分方法

前言

　　本書是對(duì)Bluman和Kumei的《對(duì)稱與微分方程》（1989年初版，1996年重?。┣八恼碌闹匾隆Ｗ詮?989年以來(lái)，在微分方程的對(duì)稱方法（群方法）方面已經(jīng)有了相當(dāng)大的發(fā)展，不少研究論文、著作和新的符號(hào)軟件都致力于這個(gè)課題的研究。毫無(wú)疑問，這是由于這些方法在非線性微分方程中具有固有的適用性。微分方程的對(duì)稱方法最初是由Lie于19世紀(jì)后半葉發(fā)展起來(lái)的，具有高度的算法化，因此適用于符號(hào)計(jì)算。這些方法系統(tǒng)地拓展了已知的構(gòu)造微分方程的顯式解的技巧，特別是非線性微分方程。求解特殊微分方程獨(dú)創(chuàng)性的技巧明顯源于對(duì)稱的觀點(diǎn)，因而對(duì)稱方法并沒有被更廣泛地接受顯得有點(diǎn)令人驚訝。學(xué)習(xí)本書中所提出的方法，進(jìn)而理解已知的符號(hào)操作軟件來(lái)獲得微分方程的解析結(jié)果是非常有意義的。常微分方程（ODEs）包括通過群不變性或積分因子實(shí)現(xiàn)階的約化，偏微分方程（PDEs）包含特殊解的構(gòu)造，如相似解或非古典解、尋找守恒律、等價(jià)映射以及線性化?！　”緯拇蟛糠謨?nèi)容并沒有出現(xiàn)在《對(duì)稱與微分方程》中，特別是關(guān)于高階ODEs的首次積分，以及用高階對(duì)稱約化ODE的階。另外，本書還增加了ODE的對(duì)稱和積分方法之間比較的新內(nèi)容?！　”緯▽?duì)量綱分析的綜合處理。對(duì)Lie點(diǎn)變換（點(diǎn)對(duì)稱）群、接觸對(duì)稱和高階對(duì)稱進(jìn)行了全面討論，這對(duì)于發(fā)現(xiàn)微分方程的解是重要的，而不需要群理論的知識(shí)。本書重點(diǎn)是利用顯式的算法研究給定微分方程的對(duì)稱和積分因子，進(jìn)而由這樣的對(duì)稱和積分因子構(gòu)造解和首次積分。　　本書特別適合于應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者、工程人員及科學(xué)家閱讀，因?yàn)樗麄儗?duì)如何系統(tǒng)地發(fā)現(xiàn)微分方程的顯式解很感興趣。書中幾乎所有的例子都來(lái)自物理和工程中的實(shí)際應(yīng)用，包括與熱方程、波傳播和流體流動(dòng)有關(guān)的問題?！　〉?章詳細(xì)討論了量綱分析。通過具體介紹不變性概念，引入了著名的Buck-inghamPi定理。變量尺度變換作用下邊值問題的不變性自然導(dǎo)致一般化，這就埋下了伏筆，因?yàn)榈?章和第4章討論Lie變換群作用下微分方程的更廣義的不變性?；旧?，在閱讀第1章后，讀者會(huì)對(duì)本書的一些主題有個(gè)直觀的印象?！　〉?章發(fā)展了Lie變換群和Lie代數(shù)的基本概念，這對(duì)下面兩章的閱讀是必要的。從函數(shù)映成函數(shù)且其自變量不變的觀點(diǎn)，通過無(wú)窮小生成元來(lái)考慮Lie點(diǎn)變換群，我們證明如何自然地考慮其他的局部變換，如接觸變換和高階變換。而且，這為研究微分方程的積分因子打下了基礎(chǔ)。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)地介紹了量綱分析、Lie無(wú)窮小變換以及在常微分方程(組)和偏微分方程(組)中的應(yīng)用，全書共分四章，第1章介紹了量綱分析、有關(guān)的重要原理及其在偏微分方程不變解中的應(yīng)用，第2章發(fā)展了Lie無(wú)窮小變換和Lie代數(shù)，給出了一些基本定理和性質(zhì)，另外，詳細(xì)給出了無(wú)窮小變換的高階展開公式，第3章主要討論Lie對(duì)稱在各種常微分方程(組)中的應(yīng)用，包括一階、二階和更高階的方程以及常微分方程的初值問題等，另外，還討論了接觸對(duì)稱、高階對(duì)稱和伴隨對(duì)稱，第4章討論Lie對(duì)稱在各類偏微分方程(組)中的應(yīng)用，每節(jié)后附有大量經(jīng)典的例子，供讀者進(jìn)一步熟練掌握Lie對(duì)稱及其拓展類型的使用方法，詳略得當(dāng)，易于讀者閱讀。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、生物學(xué)、工程等專業(yè)的高年級(jí)大學(xué)生和研究生教材或參考書，也可供相關(guān)領(lǐng)域的教師和科研人員閱讀參考。

書籍目錄

中文版序前言緒論第1章  量綱分析、建模與不變性  1.1  引言  1.2  量綱分析：Buckin曲am Pi定理    1.2.1  量綱分析蘊(yùn)涵的假設(shè)    1.2.2  量綱分析的結(jié)論    1.2.3  Buckin曲am Pi定理的證明    1.2.4  舉例    習(xí)題1.2  1.3量綱分析在PDEs中的應(yīng)用    習(xí)題1.3  1.4  量綱分析的推廣：變量尺度作用下PDEs的不變性    習(xí)題1.4  1.5  討論第2章  Lie變換群與無(wú)窮小變換  2.1  簡(jiǎn)介  2.2  Lie變換群    2.2.1  群    2.2.2  群的舉例    2.2.3  變換群    2.2.4  單參數(shù)Lie變換群    2.2.5  單參數(shù)Lie變換群舉例    習(xí)題2.2  2.3  無(wú)窮小變換群    2.3.1  Lie第一基本定理    2.3.2  Lie第一基本定理應(yīng)用舉例    2.3.3  無(wú)窮小生成元    2.3.4  不變函數(shù)    2.3.5  正則坐標(biāo)    2.3.6  正則坐標(biāo)集舉例    習(xí)題2.3  2.4  點(diǎn)變換和拓展變換（延拓）    2.4.1  點(diǎn)變換的拓展群：?jiǎn)蝹€(gè)因變量和單個(gè)自變量    2.4.2  拓展的無(wú)窮小變換：?jiǎn)蝹€(gè)因變量和單個(gè)自變量    2.4.3  拓展變換：?jiǎn)蝹€(gè)因變量和n個(gè)自變量    2.4.4  拓展的無(wú)窮小變換：?jiǎn)蝹€(gè)因變量和n個(gè)自變量    2.4.5  拓展的變換與拓展的無(wú)窮小變換：m個(gè)因變量和n個(gè)自變量    習(xí)題2.4  2.5  多參數(shù)Lie變換群和Lie代數(shù)    2.5.1  r參數(shù)Lie變換群    2.5.2  Lie代數(shù)    2.5.3  Lie代數(shù)舉例    2.5.4  可解Lie代數(shù)    習(xí)題2.5  2.6  曲線和曲面映射    2.6.1  不變曲面、不變曲線、不變點(diǎn)    2.6.2  曲線映射    2.6.3  曲線映射例子    2.6.4  曲面映射    習(xí)題2.6  2.7局部變換    2.7.1  點(diǎn)變換    2.7.2  接觸和高階變換    2.7.3  局部變換例子    習(xí)題2.7  2.8  討論第3章  常微分方程  3.1  引言    習(xí)題3.1  3.2  一階ODEs    3.2.1  正則坐標(biāo)    習(xí)題3.2  3.3  點(diǎn)對(duì)稱作用下二階和高階0DEs的不變性    3.3.1  通過正則坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)階的約化    3.3.2  通過微分不變量實(shí)現(xiàn)階的約化    3.3.3  階的約化舉例    3.3.4  n階ODE的點(diǎn)變換的確定方程    3.3.5  給定群作用下n階ODEs的不變量的確定    習(xí)題3.3  3.4  多參數(shù)Lie點(diǎn)變換群作用下階的約化    3.4.1  2參數(shù)Lie群作用下二階ODE的不變性    3.4.2  2參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性    3.4.3  具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性    3.4.4  具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下超定常微分方程組的不變性    習(xí)題3.4  3.5  接觸對(duì)稱和高階對(duì)稱    3.5.1  接觸對(duì)稱和高階對(duì)稱的確定方程    3.5.2  接觸對(duì)稱和高階對(duì)稱舉例    3.5.3  利用具有特征形式的點(diǎn)對(duì)稱實(shí)現(xiàn)階的約化    3.5.4  用接觸和高階對(duì)稱實(shí)現(xiàn)階的約化    習(xí)題3.5  3.6  通過積分因子獲得首次積分和階的約化    3.6.1  一階ODEs    3.6.2  二階ODEs的積分因子的確定方程    3.6.3  二階ODEs的首次積分    3.6.4  三階和高階ODEs的積分因子的確定方程    3.6.5  三階和高階ODEs的首次積分舉例    習(xí)題3.6  3.7  積分因子與對(duì)稱之間的基本聯(lián)系    3.7.1  伴隨對(duì)稱    3.7.2  伴隨不變性條件和積分因子    3.7.3  發(fā)現(xiàn)伴隨對(duì)稱和積分因子舉例    3.7.4  Noether定理、變分對(duì)稱和積分因子    3.7.5  對(duì)稱、伴隨對(duì)稱和積分因子計(jì)算的比較    習(xí)題3.7  3.8  由對(duì)稱和伴隨對(duì)稱實(shí)現(xiàn)首次積分的直接構(gòu)造    3.8.1  源于對(duì)稱和伴隨對(duì)稱的首次積分    3.8.2  用對(duì)稱或伴隨對(duì)稱從wronski公式獲得首次積分    3.8.3  自伴隨ODEs的首次積分    習(xí)題3.8  3.9  應(yīng)用于邊值問題    習(xí)題3.9  3.10  不變解    習(xí)題3.10  3.11  討論第4章  偏微分方程  4.1  引言    4.1.1  PDE的不變性    4.1.2  初等例子    習(xí)題4.1  4.2  標(biāo)量PDEs的不變性    4.2.1  不變解    4.2.2  后階PDE對(duì)稱的確定方程    4.2.3  例子    習(xí)題4.2  4.3  偏微分方程組的不變性    4.3.1  不變解    4.3.2  偏微分方程組對(duì)稱的確定方程    4.3.3  例子    習(xí)題4.3  4.4  應(yīng)用于邊值問題    4.4.1  標(biāo)量PDE的邊值問題不變性的公式    4.4.2  一個(gè)線性標(biāo)量PDE的不完全不變性    4.4.3  線性偏微分方程組的不完全不變性    習(xí)題4.4  4.5  討論參考文獻(xiàn)譯后記《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書目

章節(jié)摘錄

　　第1章　量綱分析、建模與不變性　　1.1　引言　　本章基于對(duì)量綱分析的全面研究，介紹不變性蘊(yùn)涵的一些思想。我們將說明量綱分析與建模及PDEs邊值問題的不變性所導(dǎo)致的解的構(gòu)造之間是如何建立聯(lián)系的?！　?duì)于感興趣的一個(gè)量，通常人們最多知道它所依賴的自變量（不妨說共有n個(gè)）和所有這n+1個(gè)量的量綱。量綱分析通常用于約化基本自變量的個(gè)數(shù)。建模的出發(fā)點(diǎn)是力求減少必要的試驗(yàn)測(cè)量的個(gè)數(shù)。下面將要證明，量綱分析能夠約化PDE邊值問題中自變量的個(gè)數(shù)。最重要的是，對(duì)于PDEs，基于量綱分析的自變量個(gè)數(shù)的約化是尺度f(wàn)拉伸）變換群作用下不變性約化的一種特殊情況?！　?.2　量綱分析：Buckingham Pi定理　　量綱分析的基本定理為美國(guó)工程科學(xué)家Buckin曲am（1914，1915a，b）提出的所謂Buckingham Pi定理。參看文獻(xiàn)（Bridgman，1931；Barenblatt，1979，1987，1996；Sedov，1982；Bluman，1983a）。GSrtler（1975）給出了它的歷史發(fā)展。詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述參看文獻(xiàn)（Curtis，Logan and Parker，1982）?！　∠旅骊P(guān)于量綱分析的假設(shè)和結(jié)論構(gòu)成了Buckingham Pi定理。

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