數學物理方程及其應用

前言

　　“數學物理方程”是工科院校相關專業(yè)碩士研究生的一門學位課程，也是高年級本科生的必修或選修課程。本教材乘教學改革、教材建設之東風，在校內使用多屆的自編教材《數學物理方程》的基礎上修改、完善而成．教材的出版得到了西南石油大學研究生部、教務處的大力支持和幫助?！　祵W物理方程的研究對象是自然科學和工程技術各門分支中出現的一些偏微分方程，它涉及自然科學和工程技術的各個領域．工程技術如試井分析、石油勘探、節(jié)約能源、大型建筑等方面，都為數學物理方程提出了嶄新的研究課題．半個多世紀以來，偏微分方程的理論有了重大的發(fā)展，同時也使人們對一些傳統(tǒng)的經典方法和理論有了新的認識，從而為我們更新教材提供了重要的前提和必要的線索．我們在教學改革、教學實踐中進行探索，在借鑒經典方法和理論的基礎上，提出了求解偏微分方程定解問題的新途徑——算子級數法[7]，[8]，[13]，[14]。該科研成果成為教材完整獨立的一章。該章考慮某類方程的柯西問題，引入強解析、擬解析等概念，將解析解表為變量t的冪級數（而不是Cauchy_KoBaπeBCKaя定理證明中將解析解表為所有變元的冪級數），從而獲得了簡潔的解析解表達式，并獲得了強解析解在有界區(qū)域或無窮區(qū)域存在唯一的充要條件，為柯西問題的局部解析解與整體解析解提供了簡捷的求解方法．傳統(tǒng)方法中對熱傳導方程、波動方程的柯西問題采用泊松公式計算，往往需要計算多重無窮限積分或曲面積分等。即使初值函數是十分簡單的解析函數，計算過程也相當復雜．應用解析解公式卻能很容易地得到熱傳導方程、波動方程等更廣泛類方程的柯西問題的解析解，迎刃而解那些采用傳統(tǒng)方法計算時所出現的難題。強解析解公式也提供了求泊松方程特解的新方法．在該章，我們又應用強解析解公式，簡捷地導出了求柯西問題的基本解、一般解的新途徑；導出了求解半無界問題、混合問題的新途徑，稱之為算子級數法。算子級數法使定解問題的求解過程簡化，使初學者較容易地掌握各類定解問題的求解方法和技巧，并將算子級數公式應用于含參變量無窮限積分、球面積分等的計算。算子級數法是本教材的特色之一，它得到了有關專家的肯定，在教學中深受學生的好評，取得了一定的教學效果。

內容概要

　　本書主要內容包括：數學模型——定解問題，分離變量法，特征值問題，貝塞爾函數，勒讓德多項式，積分變換法，波動方程的達朗貝爾法，格林函數法，算子級數法和數學物理方程在工程技術中的應用。全書以解題方法為主線編排章節(jié)，在建立三類典型方程的各種定解問題的基礎上，對各類定解問題的求解方法作了詳細系統(tǒng)的介紹，各章具有一定的獨立性。本書所講述的算子級數法是作者在教學實踐中的探索，該法使定解問題的求解過程簡化，具有解題的技巧性和靈活性?！　”緯勺鳛楣た圃盒Ｓ嘘P專業(yè)研究生的教材，選學本書的某些章節(jié)也可作為高年級本科生教材。本書也可供工程技術人員閱讀參考。

作者簡介

　　吳小慶，1949年12月生，四川省南充人。 　　西南石油大學數學教授，碩士導師。2006年享受政府特殊津貼專家。從事偏微分方程理論及應用研究。近年來獲教育部科技進步一等獎兩項、四川省科技進步一等獎一項。中國石油天然氣集團公司教學成果一等獎一項，新疆維吾爾自治區(qū)人民政府三等獎一項，院局級科技進步一等獎多項。在美國《PSEH》、《ATA》、《石油學報》等發(fā)表學術論文五十多篇，多篇被美國EI、PA．CA等收錄報道。

書籍目錄

第1章　數學模型——定解問題1.1　偏微分方程的一般概念1.1.1　基本概念1.1.2　線性算子1.1.3　疊加原理1.2　三類典型方程的建立1.2.1　弦振動方程1.2.2　熱傳導方程1.2.3　拉普拉斯（Laplace）方程1.3　定解條件與定解問題1.3.1　熱傳導方程的定解條件與定解問題1.3.2　波動方程的定解條件與定解問題1.3.3　拉普拉斯方程和泊松方程的定解條件和定解問題習題1第2章　分離變量法2.1　有界弦的自由振動2.2　有界桿的熱傳導方程2.3　二維拉普拉斯方程的分離變量法2.3.1　長方形域的拉普拉斯方程2.3.2　圓形域的拉普拉斯方程2.4　非齊次方程的定解問題2.4.1　兩端固定的弦的強迫振動定解問題2.4.2　有界桿有熱源的熱傳導方程定解問題2.4.3　泊松方程的邊值問題2.5　非齊次邊界條件的齊次化習題2第3章　特征值問題3.1　施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）問題3.2　施圖姆-劉維爾問題的幾個重要性質3.3　二階線性常微分方程的級數解法3.3.1　常點鄰域的級數解法3.3.2　正則奇點鄰域的級數解法習題3第4章　貝塞爾函數4.1　貝塞爾方程的引出4.2　貝塞爾方程的求解4.3　貝塞爾函數的遞推公式4.4　函數展成貝塞爾函數系的級數4.4.1　貝塞爾函數的零點4.4.2　貝塞爾函數系的正交性4.4.3　貝塞爾函數系的完備性4.5　貝塞爾函數的其他類型4.5.1　第三類貝塞爾函數4.5.2　虛宗量的貝塞爾函數4.5.3　開爾文函數4.5.4　貝塞爾函數的漸近公式4.6　貝塞爾函數應用舉例習題4第5章　勒讓德多項式5.1　勒讓德方程的引出5.2　勒讓德方程的求解5.3　函數展成勒讓德多項式系的級數5.3.1　勒讓德多項式函數系的正交性5.3.2　函數展成勒讓德多項式系的級數5.4　連帶的勒讓德多項式習題5第6章　積分變換法6.1　傅里葉積分和傅里葉變換6.2　δ函數6.2.1　δ函數的引入6.2.2　δ函數的性質6.2.3　δ函數的傅氏變換6.3　拉普拉斯變換6.4　正交變換法習題6第7章　達朗貝爾法7.1　二階線性偏微分方程的分類7.1.1　兩個自變量的二階線性方程7.1.2　特征方程、特征線7.1.3　兩個自變量的二階線性方程的化簡7.1.4　含多個自變量的二階線性方程7.2　弦振動方程解的達朗貝爾公式7.2.1　達朗貝爾公式7.2.2　達朗貝爾公式的物理意義7.2.3　影響區(qū)域、依賴區(qū)間和決定區(qū)域7.3　三維波動方程的泊松公式7.3.1　球對稱三維波動方程的解7.3.2　三維波動方程的泊松（Poisson）公式7.3.3　解的物理意義7.4　降維法7.4.1　二維波動方程的泊松公式7.4.2　泊松公式的物理意義7.5　強迫振動方程習題7第8章　格林函數法8.1　拉普拉斯方程的基本解8.1.1　兩類邊值問題8.1.2　拉普拉斯方程的基本解8.2　格林公式和調和函數的性質8.2.1　格林（Green）公式8.2.2　調和函數的性質8.3　狄利克雷問題和諾伊曼問題解的唯一性與穩(wěn)定性8.4　格林函數8.4.1　格林函數8.4.2　格林函數的性質8.5　幾種特殊區(qū)域上的格林函數和狄利克雷問題的解8.5.1　球和半空間上的格林函數8.5.2　圓和半平面的格林函數8.5.3　用特征函數法求格林函數習題8第9章　算子級數法9.1　柯西問題的解析解9.2　求解定解問題的算子級數法9.3　算子級數公式在微積分學中的應用習題9第10章　數學物理方程在工程技術中的應用10.1　工程技術中的數學模型10.1.1　環(huán)上分支復雜管網系統(tǒng)的數學模型10.1.2　低滲透氣藏非線性偏微分方程反問題的數學模型10.1.3　輸氣管道的一個泄漏點的檢測問題10.1.4　一個半線性拋物型方程移動邊界問題10.2　應用正交變換法求解裂縫性氣藏水平井壓力動態(tài)模型10.2.1　水平氣井模型10.2.2　問題Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的求解10.3　不定常滲流問題的點源精確解及其應用10.4　孔隙中反應物濃度數學模型的求解10.4.1　模型的建立10.4.2　模型的求解習題答案參考文獻附錄

章節(jié)摘錄

　　第4章　貝塞爾函數　　貝塞爾方程經常出現在圓柱對稱的數學物理問題中。它是特殊的施圖姆一劉維爾方程。一般說來，它的解不能用初等函數表示，而只能表為級數形式。貝塞爾方程的解稱為貝塞爾函數。貝塞爾函數是一個重要的特殊函數。貝塞爾函數系具有一系列性質，在求解數學物理問題時主要是應用其完備正交性。

編輯推薦

　　本教材以解題方法為主線編排章節(jié)，在建立三類典型方程的各種定解問題的基礎上，對各類定解問題的求解方法作了詳細的介紹，各章具有有機的聯系和相對的獨立性。 此外，本教材還具有兩大特色，即提出了求解偏微分方程定解問題的新途徑——算子級數法和積分變換法。算子級數法使定解問題的求解過程簡化，使初學者較容易地掌握各類定解問題的求解方法和技巧，并將算子級數公式應用于含參變量無窮限積分、球面積分等的計算。而積分變換法在工程技術中具有廣泛的應用。編者們針對所需解決問題的特點與特性，提出了行之有效的正交變換法。

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