數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)

內(nèi)容概要

本書主要介紹了三類典型數(shù)學(xué)物理方程——波動方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程的各種求解方法以及特殊函數(shù)的基礎(chǔ)知識?！　∪珪攸c講解了分離變量法、特征線法、行波法、平均值法、積分變換法、格林函數(shù)法等常用方法，探討了貝塞爾函數(shù)及勒讓德多項式的應(yīng)用，簡要介紹了變分法、近似解以及在工程實踐中應(yīng)用廣泛的非線性偏微分方程及積分方程等內(nèi)容。書中配有豐富的習(xí)題，并采用“專題問題”較為深入地研究某個具體現(xiàn)象，補充和擴展了正文的內(nèi)容。 　　本書內(nèi)容豐富，在注意科學(xué)性與嚴(yán)密性的同時，又注意了它的實用性與可讀性，具有由淺入深、脈絡(luò)清晰、便于學(xué)生自學(xué)的特點?？勺鳛楦叩葘W(xué)校理工科各專業(yè)的教材或參考書，亦可供工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

緒論第1章　典型方程的推導(dǎo)及基本概念  1.1  弦振動方程與定解條件    1.1.1　方程的導(dǎo)出    1.1.2　定解條件  1.2　熱傳導(dǎo)方程和定解條件    1.2.1　方程的導(dǎo)出    1.2.2　定解條件  1.3　拉普拉斯方程與定解條件  1.4　基本概念與疊加原理    1.4.1　偏微分方程的基本概念    1.4.2　定解問題及其適定性    1.4.3　疊加原理  1.5　二階偏微分方程的分類  習(xí)題1第2章　分離變量法    2.1　有界弦的自由振動    2.1.1　分離變量法    2.1.2　解的物理詮釋    2.1.3　分離變量法的應(yīng)用    2.2　非齊次弦振動問題的求解    2.2.1　非齊次方程的固有函數(shù)法    2.2.2　非齊次邊界條件的處理    2.2.3　特殊的非齊次邊界條件    2.3　有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題    2.3.1　無源熱傳導(dǎo)問題    2.3.2　含源熱傳導(dǎo)問題    2.3.3　非齊次邊界條件的處理  2.4　二維拉普拉斯方程    2.4.1　矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題    2.4.2  圓形域上拉普拉斯方程的邊值問題    2.4.3  固有函數(shù)法與特解法求解泊松方程    2.5　固有值與固有函數(shù)    習(xí)題2第3章　行波法與積分變換法　3.1　一階線性偏微分方程的特征線法    3.1.1　方向?qū)?shù)與偏微分方程    3.1.2　特征線法求解偏微分方程  3.2　一維波動方程的初值問題    3.2.1　齊次方程與達朗貝爾公式    3.2.2　非齊次方程與齊次化原理    3.2.3　行波法與分離變量法    3.3　延拓法求解半無限長弦的振動問題    3.3.1　半無限長弦的自由振動    3.3.2　半無限長弦的強迫振動    3.3.3　非齊次邊界條件的處理  3.4　高維波動方程的初值問題    3.4.1　三維波動方程的球?qū)ΨQ解    3.4.2　三維波動方程的平均值法    3.4.3　降維法    3.4.4　泊松公式的物理意義  3.5　積分變換法    3.5.1　傅里葉變換的應(yīng)用    3.5.2　拉普拉斯變換的應(yīng)用    習(xí)題3第4章　格林函數(shù)  4.1　艿函數(shù)  4.2　無界域中的格林函數(shù)  4.3　格林公式有界域上的格林函數(shù)　……第5章　貝塞爾函數(shù)第6章　勒讓德多項式第7章　變分法及應(yīng)用第8章　非線性偏微分方程與積分方程第9章　數(shù)學(xué)物理中的近似解法習(xí)題解答參考文獻附錄1　雙調(diào)和方程附錄2　探討定解問題的適定性-能量積分法

章節(jié)摘錄

　　第1章　典型方程的推導(dǎo)及基本概念　　數(shù)學(xué)物理方程是以物理規(guī)律為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)方法為工具來研究實際問題的學(xué)科，它的主要研究對象來自數(shù)學(xué)物理問題中的偏微分方程。本章首先從具體的物理模型推導(dǎo)出三類典型的數(shù)學(xué)物理方程，以及相關(guān)的定解條件；然后介紹偏微分方程的基本概念及二階線性偏微分方程的分類?！　?.1弦振動方程與定解條件　　用微分方程描述工程實際問題，實質(zhì)就是從定性的物理問題導(dǎo)出定量的數(shù)學(xué)物理方程。首先，我們分析實際問題遵循的物理規(guī)律，并用數(shù)學(xué)概念表達相關(guān)的物理量，再運用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)上可采用兩種不同的推導(dǎo)方法，即局部微元法和整體積分法?！　【植课⒃ㄊ侵冈谒芯康奈矬w中，任取一個微小的體積（微元），在其上建立相應(yīng)物理量的平衡關(guān)系，然后令微元的直徑趨向于零，使微小的體積緊縮成一個點，則得到區(qū)域內(nèi)任意一點的數(shù)學(xué)物理方程。整體積分法是在物體內(nèi)部任取一個子區(qū)域，在其上建立相應(yīng)物理量的平衡關(guān)系，得到一個積分等式，根據(jù)積分區(qū)域的任意性，通過被積表達式就可得到數(shù)學(xué)物理方程。這兩種方法本質(zhì)上是相同的。下面，我們通過推導(dǎo)有界弦的振動方程引入這些具體內(nèi)容。　　1.1.1方程的導(dǎo)出　　一根線密度為p、長為z的均勻細弦，拉緊之后使它在平衡位置做振幅微小的橫振動，求弦上各點位移隨時間變化的規(guī)律。本問題是現(xiàn)實生活中弦樂器的弦振動現(xiàn)象的簡化，振動現(xiàn)象是一個復(fù)雜的物理過程，在建立描述弦振動過程的數(shù)學(xué)模型時，必須忽略一些次要因素，做一些合理的假設(shè)與近似?！　榱吮阌谟懻摚覀円韵业钠胶馕恢脼閦軸建立坐標(biāo)系，弦的一端置于坐標(biāo)原點，用U（X，t）描述時刻t、弦上橫坐標(biāo)為z的點在縱方向u軸上的位移。　　……

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