Camassa-Holm方程

前言

　　眾所周知，淺水波在長(zhǎng)波、小振幅條件下可得到KdV方程.實(shí)踐觀察、數(shù)值模擬和理論分析均證明了它屬于完全可積系統(tǒng)，具有孤立子光滑解.它的波形在相互作用中幾乎不變.從1834年英國(guó)力學(xué)家Russell第一次觀察到它，雖歷盡滄桑，對(duì)它的研究時(shí)起時(shí)落，但至今已成為孤立子理論的重要模型和支柱，對(duì)它的偏微分方程定性理論研究也已達(dá)到嶄新的階段。1993年，美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的Camassa和Holm推導(dǎo)出了另一類淺水波波動(dòng)方程的孤立波解。這種孤立波解在波峰處不光滑，即出現(xiàn)了尖點(diǎn)，又稱孤立尖解.他們指出這是另一類完全可積系統(tǒng)。A.Constantin等研究了該方程尖孤立子的穩(wěn)定性和相互碰撞問(wèn)題，證實(shí)了這種孤立子和KdV方程的孤立子一樣，具有碰撞后不改變其形狀和速度等性質(zhì)。之后，相繼找到了該系統(tǒng)的Lax對(duì)、無(wú)窮守恒律和散射及后演方法等。從1993年Camassa和Holm找到這種連續(xù)但不光滑的新型孤立子后，十多年來(lái)已引起了許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注和興趣，他們做了大量的理論研究工作，其中包括建立該方程的孤立子數(shù)學(xué)理論及A.Constantin等從偏微分方程定性研究建立有關(guān)該方程整體弱解、光滑解的存在唯一和它的漸近性質(zhì)等一整套數(shù)學(xué)理論。我國(guó)學(xué)者也在這些方面開(kāi)展了研究，取得了一些可喜的成果?！　?999年，意大利的Degasperis和Procesi又從Camassa-Holm方程發(fā)現(xiàn)了另一類淺水波方程這類方程具有間斷的孤立子，它也屬于完全可積系統(tǒng).這引起數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的震動(dòng)和關(guān)注，并正式開(kāi)始做深入的研究?！　∮缮峡梢钥闯觯耆煞e系統(tǒng)的內(nèi)容是相當(dāng)豐富和復(fù)雜的，而對(duì)它的認(rèn)識(shí)還是比較膚淺的。同時(shí)，也注意到從發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象到不斷研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)的研究充滿著勃勃生機(jī)和活力。

內(nèi)容概要

Camassa-Holm方程是一類十分重要而又特別的新型淺水波方程，有廣泛的應(yīng)用背景。該類方程存在一類尖峰孤立子，并且它是完全可積的,具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)和Lax對(duì)。本書(shū)給出該類方程的物理背景并闡述它的完全可積性。對(duì)該類方程的行波解作分類，獲得多種奇異孤立波解；給出該類方程的譜圖理論和散射數(shù)據(jù)；利用反散射方法，給出該類方程的多孤立子解。獲得該類方程的整體強(qiáng)解的存在性及整體弱解的存在性；得到該類方程柯西問(wèn)題的局部適定性；研究它們的blow-up問(wèn)題以及尖峰孤立子解的軌道穩(wěn)定性。本書(shū)同時(shí)研究含尖峰孤立子的Degasperis-Procesi方程及b族方程，研究前一類方程激波的形成及動(dòng)力學(xué)分析，給出b族方程的水波結(jié)構(gòu)和非線性平衡關(guān)系，對(duì)Degasperis-Procesi方程的適定性給出具體證明。    本書(shū)適合數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)專業(yè)的研究生、教師及相關(guān)領(lǐng)域的科研工作者閱讀。

作者簡(jiǎn)介

　　郭柏靈，男，福建龍巖人。漢族，中共黨員，計(jì)算數(shù)學(xué)專家。1958年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系。歷任助教、助理研究員、副研究員、研究室主任?，F(xiàn)任北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所研究員、博士生導(dǎo)師，國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)專家組評(píng)委。2001年11月當(dāng)選中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與物理學(xué)部院士。在非線性發(fā)展方程方面，對(duì)力學(xué)及物理學(xué)中的一些重要方程進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究，其中包括Landau-Lifshitz方程、Benjamin-Ono方程等非線性發(fā)展方程的大初值的整體可解性、解的唯一性、正則性、漸近行為以及爆破現(xiàn)象等，給出了系統(tǒng)而深刻的數(shù)學(xué)理論。在無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)方面，成功地研究了一批重要的無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)，給出了有關(guān)整體吸引子、慣性流形和近似慣性流形的存在性和分形維數(shù)精細(xì)估計(jì)等理論，提出了一種證明強(qiáng)緊吸引子的新方法，并利用離散化等方法進(jìn)行理論分析和數(shù)值計(jì)算，展示了吸引子的結(jié)構(gòu)和圖象。

書(shū)籍目錄

《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書(shū)》序前言第1章  Camassa－tolm方程的物理背景及完全可積性    1.1 Camassa—Holm方程的物理背景    1.2 Camassa—Holm方程的完全可積性    1.3 孤立子的實(shí)驗(yàn)觀察及應(yīng)用    參考文獻(xiàn)第2章  Camassa－Holm方程的行波解    2.1 引言    2.2 符號(hào)    2.3 弱形式    2.4 幾類行波解    2.5 定理2.4.1的證明    2.6 參數(shù)的相關(guān)性    2.7 波長(zhǎng)    2.8 尖峰孤立子的顯式公式    參考文獻(xiàn)第3章  Camassa－Holm方程的散射及反散射    3.1 Camassa－Holm方程的散射    3.2 Camassa－Holm方程的解    參考文獻(xiàn)第4章  Camassa－tolm方程的適定性問(wèn)題    4.1 整體強(qiáng)解的存在性    4.2 整體弱解的存在性    4.3 Camassa－Holm方程的Cauchy問(wèn)題在□中解的適定性    4.4 Camassa－Holm方程的blowup問(wèn)題    4.5 尖峰解的軌道穩(wěn)定性    參考文獻(xiàn)第5章  Degasperis－Procesi方程激波的形成及動(dòng)力學(xué)分析     5.1 引言    5.2 DP方程的激波尖峰解    5.3 尖峰，反尖峰和激波的形成    5.4 激波動(dòng)力系統(tǒng)    5.5 概括說(shuō)明    參考文獻(xiàn)第6章  6族非線性淺水波方程的水波結(jié)構(gòu)和非線性平衡    6.1 引言    6.2 6方程的歷史背景與一般性質(zhì)    6.3 行波和廣義函數(shù)    6.4 6>0時(shí)pulson的相互作用    6.5 對(duì)任意6寬度α的尖峰    6.6 將尖峰動(dòng)力系統(tǒng)加入黏性項(xiàng)    6.7 式(6.1.1)加了黏性和式(6.1.2)Burgersαβ演化的尖峰    6.8 尖峰散射和初始值問(wèn)題的數(shù)值結(jié)果    6.9 結(jié)論    參考文獻(xiàn)第7章  Degasperis－Procesi方程    7.1 引言    7.2 局部適定性    7.3 強(qiáng)解的爆破    7.4 強(qiáng)解的整體存在性    7.5 弱解的整體存在性和唯一性    7.6 新的結(jié)果和問(wèn)題    參考文獻(xiàn)《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書(shū)》已出版書(shū)目

圖書(shū)封面

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