數(shù)學(xué)物理方程

內(nèi)容概要

本書以方法為主線，內(nèi)容包括偏微分方程的基本概念、二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型、二階常系數(shù)偏微分方程定解問(wèn)題的經(jīng)典解法、一階擬線性偏微分方程的基本理論和定解問(wèn)題的求法、兩類特殊函數(shù)及應(yīng)用.本書內(nèi)容豐富、系統(tǒng)性強(qiáng)、敘述詳盡，具有較強(qiáng)的可瀆性。每一章配備了較多類型的例題和習(xí)題，供讀者閱讀和練習(xí)。書末附有大部分習(xí)題的答案與提示。 　　本書可作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生和水利、土木、環(huán)境、交通、電子信息和大氣科學(xué)等工科專業(yè)本科生或研究生的教學(xué)用書，也可作為從事本門課程教學(xué)的教師和有關(guān)科研工作者的參考讀物。

書籍目錄

前言　第1章　緒論　　1.1　基本概念　　　1.1.1　基本概念和定義　　　1.1.2　一些典型偏微分方程　　　1.1.3　偏微分方程與常微分方程一些比較　　　1.1.4　學(xué)習(xí)偏微分方程的典型困難　　1.2　三類典型方程的導(dǎo)出　　1.3　定解條件與定解問(wèn)題　　　1.3.1　初始條件　　　1.3.2　邊界條件　　　1.3.3　定解問(wèn)題　　1.4　定解問(wèn)題的適定性　　　1.4.1　適定性概念　　　1.4.2　不適定定解問(wèn)題的例子　　1.5　線性疊加原理　　習(xí)題1　第2章　二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型　　2.1　兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)型　2.2　多個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)型　習(xí)題2第3章　波動(dòng)方程的初值（柯西）問(wèn)題與行波法　3.1　一維波動(dòng)方程的初值（柯西）問(wèn)題　　3.2　三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題　3.4　二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題與降維法　3.5　依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐　習(xí)題3第4章　分離變量法　4.1　正交函數(shù)系和函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開　　4.2　齊次方程和齊次邊辦界條件的定解問(wèn)題　4.3　非齊次方程的定解問(wèn)題　　4.4　非齊次邊界條件的處理　4.5　施圖姆－劉維爾問(wèn)題　4.6　雜例　習(xí)題4第5章　傅里葉變換方法　5.1　傅里葉積分和傅里葉變換　　5.2　傅里葉變換的性質(zhì)　　5.3　傅里葉變換的應(yīng)用　習(xí)題5第6章　拉普拉斯變換方法第7章　格林函數(shù)方法和δ函數(shù)方法第8章　極值原理和應(yīng)用第9章　能量積分方法和應(yīng)用第10章　貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)及應(yīng)用第11章　一階擬線性偏微分方程部分習(xí)題參考答案參考文獻(xiàn)附錄1　傅里葉變換表附錄2　拉普拉斯變換表

章節(jié)摘錄

第1章 緒論1.1　基本概念在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)和其它學(xué)科中，經(jīng)常會(huì)提出大量的偏微分方程。它們反映了未知函數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系，同時(shí)刻畫了物理現(xiàn)象和過(guò)程的基本規(guī)律。這些來(lái)自物理等學(xué)科的偏微分方程，我們常把它們叫做數(shù)學(xué)物理方程。它的重要性，早在18世紀(jì)初就被人們認(rèn)識(shí)，例如，在1715年，泰勒（Taylor）將弦線的橫向振動(dòng)問(wèn)題歸結(jié)為著名的弦振動(dòng)方程以后，伯努利（Bernoulli）從弦發(fā)出聲音的事實(shí)，得出該方程的三角級(jí)數(shù)解。在此基礎(chǔ)上，傅里葉（Fourier）在理論上完成了解此方程的方法。同時(shí)，歐拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）在研究流體力學(xué)、拉普拉斯（Laplace）在研究勢(shì)函數(shù)、傅里葉在研究熱傳導(dǎo)等物理問(wèn)題中，都導(dǎo)出了一系列重要的偏微分方程及其求解方法，取得了重要的成就。到了19世紀(jì)，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展及對(duì)方程的深入研究，形成了數(shù)學(xué)中的一門重要分支一偏微分方程理論，這樣又促使了自然科學(xué)和工程技術(shù)的發(fā)展。本章首先介紹了偏微分方程中的一些基本概念以及從幾個(gè)物理模型出發(fā)，建立數(shù)學(xué)物理方程中的三個(gè)典型方程——弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程。這不僅僅是因?yàn)樗鼈兪亲詈?jiǎn)單的偏微分方程，更是因?yàn)樗鼈兇砹巳N不同類型的方程。掌握了它們的性質(zhì)和求解方法，對(duì)學(xué)習(xí)和研究一般的偏微分方程具有普遍意義和指導(dǎo)意義。因?yàn)閷?duì)于其它經(jīng)典的線性方程的主要研究方法，本質(zhì)上與這三類方程的研究方法相仿。本章還對(duì)偏微分方程的定解條件、定解問(wèn)題的提法、疊加原理等內(nèi)容給予了較詳細(xì)的敘述，以便將來(lái)使用上的方便。

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