偏微分方程教程

內(nèi)容概要

本書根據(jù)作者們多次對數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)本科生及研究生講授偏微分方程課程的講稿編寫而成。全書共分八章，包括一階偏微分方程的求解，特征理論及方程的分類，雙曲型、拋物型及橢圓型方程的求解方法及基本理論，F(xiàn)ourier變換，Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例。各章內(nèi)容相對獨立，自成體系，教學(xué)時可根據(jù)實際教學(xué)時數(shù)，任選幾章獨立安排教學(xué)。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)系本科生“偏微分方程”、“數(shù)學(xué)物理方程”課程的教材或參考書，也可作為理工科本科生和研究生“數(shù)學(xué)物理方程”、“數(shù)學(xué)物理方法”課程的參考書或教材。

書籍目錄

第一章 方程的導(dǎo)出及定解問題的提法  1 基本概念    1.1 什么是偏微分方程    1.2 偏微分方程的解    1.3 偏微分方程的階    1.4 線性偏微分方程    1.5 非線性偏微分方程    習(xí)題1-1  2 幾個經(jīng)典方程    2.1 弦振動方程    2.2 膜振動方程    2.3 熱傳導(dǎo)方程    2.4 拉普拉斯(Laplace)方程    習(xí)題1-2  3 定解問題    3.1 定解問題    3.2 三類典型的邊界條件    3.3 適定性    習(xí)題1-3第二章 一階偏微分方程  1 基本概念    1.1 積分曲面    1.2 特征線與全特征線    習(xí)題2-1  2 線性齊次偏微分方程    2.1 通解的結(jié)構(gòu)    2.2 初值問題    習(xí)題2-2  3 擬線性偏微分方程    3.1 通解的結(jié)構(gòu)    3.2 初值問題    習(xí)題2-3  4 完全非線性偏微分方程    習(xí)題2-4第三章 特征理論與方程的分類  1 二階方程的特征    1.1 兩個自變量的情形    1.2 多個自變量的情形    習(xí)題3-1  2 二階方程的分類    2.1 兩個自變量的情形    2.2 多個自變量的情形    習(xí)題3-2  3 一階方程組的特征及分類    3.1 兩個自變量的情形    3.2 多個自變量的情形    習(xí)題3-3第四章 雙曲型方程  1 Duhamel原理    1.1 Cauchy問題    1.2 混合問題    習(xí)題4-1  2 一維波動方程    2.1 齊次波動方程的Cauchy問題和特征線法    2.2 D'Alembert公式的物理意義    2.3 D'Alembert公式的幾何解釋    2.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域    2.5 齊次波動方程的混合問題    2.6 非齊次波動方程的Cauchy問題    習(xí)題4-2  3 高維波動方程    3.1 三維齊次波動方程的Cauchy問題    3.2 二維波動方程與降維法    3.3 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域    3.4 波的傳播速度    3.5 Poisson公式的物理意義    3.6 非齊次波動方程的Cauchy問題    習(xí)題4-3  4 分離變量法    4.1 齊次波動方程的混合問題    4.2 非齊次波動方程的混合問題    4.3 一般的特征值問題    4.4 二維波動方程的混合問題    4.5 物理意義，駐波法    習(xí)題4-4  5 能量積分、惟一性和穩(wěn)定性    5.1 能量積分    5.2 混合問題解的唯一性    5.3 能量不等式    5.4 Cauchy問題解的唯一性和穩(wěn)定性    習(xí)題4-5第五章 拋物型方程  1 熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題    1.1 齊次方程    1.2 非齊次方程    習(xí)題5-1  2 熱傳導(dǎo)方程的混合問題    2.1 半直線上的熱傳導(dǎo)方程與熱的反射    2.2 有限區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程與分離變量法    習(xí)題5-2  3 極值原理、最大模估計、惟一性和穩(wěn)定性    3.1 弱極值原理    3.2 第一邊值問題解的最大模估計、惟一性與穩(wěn)定性    3.3 第二、三邊值問題解的最大模估計    3.4 Cauchy問題解的最大模估計    3.5 邊值問題的能量估計    習(xí)題5-3第六章 橢圓型方程  1 調(diào)和函數(shù)    1.1 Green公式    1.2 調(diào)和函數(shù)與基本解    1.3 和函數(shù)的基本性質(zhì)    習(xí)題 6-1  2 Green函數(shù)    2.1 Green函數(shù)的定義    2.2 Green函數(shù)的幾個重要性質(zhì)    習(xí)題6-2  3 球上的Dirichlet問題    3.1 Poisson公式    3.2 解的存在性    3.3 哈那克（Harnack）不等式及其應(yīng)用    習(xí)題6-3  4 極值原理、惟一性與穩(wěn)定性    4.1 極值原理    4.2 第一邊值問題解的惟一性和穩(wěn)定性    4.3 第二邊值問題解的惟一性    習(xí)題6-4  5 分離變量法    習(xí)題6-5第七章 Fourier變換及其應(yīng)用  1 Fourier變換及其性質(zhì)    1.1 Fourier變換    1.2 基本性質(zhì)    1.3 幾個例子    1.4 高維空間的Fourier變換    習(xí)題7-1  2 應(yīng)用    習(xí)題7-2第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例  1 Cauchy-Kovalevskaya定理    1.1 多重指標(biāo)    1.2 實解析函數(shù)與強函數(shù)    1.3 Cauchy-Kovalevskaya定理    習(xí)題8-1  2 Lewy的反例    習(xí)題8-2主要參考文獻

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