現(xiàn)代分析及其應(yīng)用引論

內(nèi)容概要

本書用較短的篇幅介紹了流形上的微積分及其應(yīng)用。書中的前三章的內(nèi)容是預(yù)備知識，第4章到第9章分別介紹微分流形、流形上的向量場、微分形式與積分、de Rham上同調(diào)、映射度及奇異性等基本概念和理論，同時(shí)介紹了若干典型的應(yīng)用。第10章是全書內(nèi)容的一個綜合應(yīng)用。    本書敘述簡明，注重概念與實(shí)例，信息量較大，適合作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科研究生的數(shù)學(xué)教材或教學(xué)參考書。也可作為物理、力學(xué)工作者及工程技術(shù)人員自學(xué)的入門讀物。

書籍目錄

第1章 映射與等價(jià)關(guān)系  1.1 映射  1.2 映射的復(fù)合  1.3 可逆映射  1.4 笛卡兒積  1.5 等價(jià)關(guān)系第2章 代數(shù)預(yù)備知識  2.1 線性空間與線性映射  2.2 內(nèi)積空間  2.3 對偶空間  2.4 多重線性函數(shù)  2.5 非退化雙線性函數(shù)  2.6 外代數(shù)  2.7 群  2.8 同態(tài)  2.9 商群  2.10 環(huán)與域  2.11 模  2.12 自由模  2.13 群在集合上的作用第3章 Rn上的微分學(xué)  3.1 Rn上的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)  3.2 可微映射  3.3 Taylor公式  3.4 反函數(shù)定理與隱函數(shù)定理  3.5 同胚與微分同胚第4章 微分流形  4.1 微分流形的概念  4.2 可微映射  4.3 切空間  4.4 二次超曲面  4.5 切從  4.6 應(yīng)用:流形上的函數(shù)的極值  4.7 子流形  4.8 Riemann度量第5章 流形上的向量場  5.1 常微分方程組與向量場  5.2 基本定理  5.3 相流  5.4 線性系統(tǒng)  5.5 應(yīng)用:非線性電路的微分方程  5.6 Poisson括號  5.7 單位分解第6章 微分形式與積分  6.1 余切空間  6.2 微分形式  6.3 外微分運(yùn)算  6.4 Poincaré引理  6.5 定向  6.6 鏈上的積分  6.7 微分形式的應(yīng)用(Ⅰ)  6.8 微分形式的應(yīng)用(Ⅱ)  6.9 微分形式的應(yīng)用(Ⅲ)第7章 同調(diào)與上同調(diào)  7.1 de Rham上同調(diào)  7.2 同倫  7.3 奇異同調(diào)群  7.4 de Rham定理  7.5 應(yīng)用:Brouwer不動點(diǎn)定理第8章 映射度  8.1 正則值與映射度  8.2 積分與映射度  8.3 應(yīng)用第9章 Morse函數(shù)與奇異性  9.1 Morse函數(shù)  9.2 有關(guān)奇異性的一些基本概念  9.3 余維數(shù)與有限決定性  9.4 余維數(shù)不超過5的情形  9.5 應(yīng)用第10章 流形上的力學(xué)  10.1 位形空間與狀態(tài)空間  10.2 辛結(jié)構(gòu)  10.3 Hamilton力學(xué)  10.4 首積分與對稱性參考文獻(xiàn)索引

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