常微分方程

前言

　　自20世紀(jì)90年代后期開(kāi)始，我國(guó)的高等教育改革步伐日益加快。實(shí)行5天工作制，使教學(xué)總時(shí)數(shù)減少，而新的專(zhuān)業(yè)課程卻不斷出現(xiàn)。在這樣的情況下，對(duì)傳統(tǒng)的專(zhuān)業(yè)課程應(yīng)該如何處置，這樣一個(gè)不能回避的問(wèn)題就擺在了我們的面前。而這時(shí)，教育部師范司啟動(dòng)了面向21世紀(jì)教學(xué)改革計(jì)劃。在我們進(jìn)行“數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)方案”項(xiàng)目的研究過(guò)程中，這個(gè)問(wèn)題有兩種方案可以選擇：一是簡(jiǎn)單化的做法，或者削減必修課的數(shù)量，將一些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程從必修課的名單中去掉，變?yōu)檫x修課，或者少講內(nèi)容減少課時(shí)；二是對(duì)每門(mén)課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化、整合，建立一些理論平臺(tái)，減少一些繁瑣的論證和計(jì)算，以達(dá)到削減課時(shí)，同時(shí)又能保證基本教學(xué)內(nèi)容的目的。我們選擇了第二種方案?！　‘?dāng)我們真正進(jìn)入實(shí)質(zhì)性操作時(shí)，才感到這樣做的困難并不少。首先，教師對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)需要改變。理論“平臺(tái)”該不該建？在人們的印象中，似乎數(shù)學(xué)課程中不應(yīng)該有不加證明而承認(rèn)的定理，這樣做有悖于數(shù)學(xué)的“嚴(yán)密性”。其實(shí)這種“平臺(tái)”早已有之，中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)就是例子。第二個(gè)困難是哪些內(nèi)容屬于整合對(duì)象，優(yōu)化從何處下手。我們希望每門(mén)課程的內(nèi)容要精練，盡可能地反映這門(mén)課程的基本思想和方法，重視數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程以及應(yīng)用價(jià)值，而不去過(guò)分地追求邏輯體系的嚴(yán)密性。　　教材從1998年開(kāi)始編寫(xiě)，歷時(shí)5年，經(jīng)反復(fù)試用，幾易其稿。在這期間，我們又經(jīng)歷了一些大事。1999年高校開(kāi)始大幅度擴(kuò)大招生規(guī)模，學(xué)生情況的變化，提示我們教材的編寫(xiě)要適應(yīng)教育形勢(shì)的變化，迎接“大眾教育”的到來(lái)。2001年，針對(duì)教育發(fā)展的新形勢(shì)，高教司啟動(dòng)了21世紀(jì)初高等理工科教育教學(xué)改革項(xiàng)目，在項(xiàng)目“數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)分層次教學(xué)改革實(shí)踐”的研究過(guò)程中，我們對(duì)“大眾教育”階段的學(xué)生狀況有了更具體、更直接的了解。在經(jīng)歷大規(guī)模擴(kuò)招后，在校學(xué)生的差距不斷增大，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體情況，實(shí)行分層次、多形式的培養(yǎng)模式，每個(gè)培養(yǎng)模式應(yīng)該有各自不同的教學(xué)和學(xué)習(xí)要求。此外，教材的內(nèi)容還應(yīng)該為教師提供多一些的選擇，給學(xué)生有自我學(xué)習(xí)的空間，要反映學(xué)科的新進(jìn)展和新應(yīng)用，使所有學(xué)生都能學(xué)到課程的基本內(nèi)容和思想方法，使部分優(yōu)秀學(xué)生有進(jìn)一步提高的空間。這個(gè)指導(dǎo)思想貫穿了本套教材的最后修改稿。

內(nèi)容概要

本書(shū)作為數(shù)學(xué)系本科生的常微分方程教材，每周三節(jié)課（3個(gè)學(xué)分），主要內(nèi)容有常微分方程初等解法和基本理論（Picard定理、Peano定理、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理）、線性方程、定性理論和穩(wěn)定性理論。此外，本書(shū)還給出了各種類(lèi)型的微分方程的模型。    本書(shū)可供高等院校數(shù)學(xué)系本科二年級(jí)的學(xué)生作教材或參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第一章  基本概念和初等解法  1.1  微分方程模型與基本概念  1.2  初等解法  1.3  基本理論問(wèn)題  本章小結(jié)第二章  線性微分方程組  2.1  引論  2.2  一般理論  2.3  常系數(shù)線性微分方程組  2.4  高階線性微分方程式  本章小結(jié)第三章  定性和穩(wěn)定性理論  3.1  基本概念  3.2  二維系統(tǒng)的定性分析  3.3  一般非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性  本章小結(jié)習(xí)題答案參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　第一章　基本概念和初等解法　　矛盾的對(duì)立統(tǒng)一法則是唯物辯證法最根本的法則，宇宙間的任何事物都是按照對(duì)立統(tǒng)一的法則在不斷發(fā)展和變化。函數(shù)就是白變量和因變量這兩個(gè)互相對(duì)立又互相聯(lián)系的對(duì)立統(tǒng)一，它既是事物發(fā)展變化過(guò)程的抽象，又是定量描述事物發(fā)展變化的理想工具。但在許多科學(xué)、技術(shù)和實(shí)際工程問(wèn)題中，卻很難找到因變量與白變量（可能不止一個(gè)）之間的直接聯(lián)系，而只能從其變化過(guò)程中求出自變量、因變量與因變量對(duì)自變量的變化率之間的關(guān)系式（即微分方程，且可能不止一個(gè)）。雖然建立這種關(guān)系式也往往不是一件容易的事，但本學(xué)科的主要任務(wù)卻是如何從這些關(guān)系式找出描述該事物發(fā)展過(guò)程的函數(shù)，即自變量與因變量之間的關(guān)系式。本章首先利用一些例子來(lái)說(shuō)明如何建立微分方程模型和微分方程的基本概念，其次給出能夠利用初等方法求解的一階常微分方程類(lèi)型及其解法，最后介紹一階常微分方程的主要基本理論問(wèn)題。

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