數(shù)學與猜想（第一卷）

前言

　　本書有彼此緊密聯(lián)系的各種目的。首先，想給學習數(shù)學的學生和從事數(shù)學工作的教師在一個重要的但卻通常被忽視的方面提供一些幫助。然而，在某種意義上說本書也是一種哲學論述。本書又是一部續(xù)篇，而且它本身也還要有續(xù)篇。我將逐一地談到上述各點?！　?.嚴格地說，除數(shù)學和論證邏輯(其實它也是數(shù)學的一個分支)外，我們所有的知識都是由一些猜想所構(gòu)成的。當然，有種種猜想。有表述成物理科學中某些一般定律的非?？少F而又可靠的猜想。也有另外—些既不可靠又不可貴的猜想，其中有一些當你在報紙上讀到它時不禁會使你憤怒。而介于上述兩種猜想之間還有各種各樣的猜想、預感和推測。

內(nèi)容概要

本書是著名數(shù)學家G.波利亞撰寫的一部經(jīng)典名著，書中討論的是自然科學、特別是數(shù)學領(lǐng)域中與嚴密的論證推理完全不同的一種推理方法——合情推理（即猜想）。本書通過許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀點：不但要學習論證推理，也要學習合情推理，以豐富人們的科學思想，提高辯證思維能力，本書的例子不僅涉及數(shù)學各學科，也涉及到物理學，全書內(nèi)容豐富，談古論今，敘述生動，能使人看到數(shù)學中真正的奧妙。    全書共分兩卷，第一卷為數(shù)學中的歸納和類比，第二卷為合情推理模式，此冊為第一卷，主要講述數(shù)學中各種合情推理的實例。本書可供大學數(shù)學系師生、中學數(shù)學教師，數(shù)學研究人員及數(shù)學愛好者閱讀。

作者簡介

　　波利亞，數(shù)學家、教育家，曾任美國國家科學院、美國藝術(shù)與科學學院院士，匈牙利科學院榮譽院士，倫敦數(shù)學會、瑞士數(shù)學會、美國工業(yè)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學學會榮譽會員，法國巴黎科學院通訊院士。出生于匈牙利布達佩斯，1942年移居美國。獲布達佩斯Eotvos Lorand大學數(shù)學博士學位。著有《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學分析中的問題和定理》、《數(shù)學物理中的等周不等式》等。

書籍目錄

譯者的話序言對讀者的提示第一章 歸納方法  引言  1.經(jīng)驗和信念  2.啟發(fā)性聯(lián)想  3.支持性聯(lián)想  4.歸納的態(tài)度第一章 的例題和注釋，l～14.［12.是與非.13.經(jīng)驗與行為.14.邏輯學家、數(shù)學家、物理學家和工程師.］第二章 一般化、特殊化、類比  1.一般化、特殊化、類比和歸納   2.一般化  3.特殊化  4.類比  5.一般化、特殊化和類比  6.由類比作出的發(fā)現(xiàn)  7.類比和歸納  第二章的例題和注釋，1～46；［第一部分，1～20；第二部分，21～46］.［1.正確的推廣.5.一個極端的特殊情形.7.起主導作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可類比的情形.18.偉大的類比.19.明確的類比.20.幾位數(shù)學家的名句摘錄.21.猜想E.44.對猜想的一個疑問和證明的第一步嘗試.45.證明的第二步嘗試.46.類比的危險.］第三章 立體幾何中的歸納推理  1.多面體  2.支持猜想的第一批事實  3.支持猜想的更多事實  4.一次嚴格的檢驗  5.驗證再驗證  6.一種很不同的情形  7.類比  8.空間的分割  9.修改一下問題的提法  10.一般化、特殊化、類比   11.一個類似的問題  12.類似問題的一張表格  13.解決一大批問題有時比解決單獨一個問題更容易  14.一個猜想  15.預言與證明  16.再來一次，使它更好  17.歸納法引向演繹法；特例引向一般證明  18.更多的猜想  第三章的例題和注釋，l～41.[21.歸納過程：思想的適應(yīng)，語言的適應(yīng).31.笛卡兒對多面體的研究工作.36.立體補角，互補球面多邊形.]第四章 數(shù)論中的歸納方法  1.邊長為整數(shù)的直角三角形  2.平方和  3.關(guān)于四奇數(shù)平方和問題  4.考察一個例子  5.把觀察結(jié)果列成表  6.有什么規(guī)則  7.關(guān)于歸納發(fā)現(xiàn)未知事物的性質(zhì)  8.關(guān)于歸納證據(jù)的性質(zhì)  第四章的例題和注釋,1～26.[1.符號表示法.26.歸納法的危險.]第五章 歸納法雜例  l.函數(shù)的展開式  2.近似式  3.極限  4.設(shè)法推翻它  5.設(shè)法證明它  6.歸納階段的作用  第五章的例題和注釋，1～18.［15.解釋觀察到的規(guī)律性.16.把觀察到的事實進行分類.18.差別是什么？］第六章 更一般性的陳述  1.歐拉  2.歐拉的研究報告  3.從實踐到抽象的一般觀點  4.歐拉研究報告的概述  第六章的例題和注釋，l～25.［1.母函數(shù).7.平面幾何的一個組合問題.10.平方和.19.另一個遞推公式.20.整數(shù)因子和的另一個奇特規(guī)律.24.歐拉怎樣遺漏一個發(fā)現(xiàn).25.歐拉定理關(guān)于σ(n)的一種推廣.］第七章 數(shù)學歸納法  1.歸納階段  2.論證階段  3.研究的飛躍  4.數(shù)學歸納法的技巧  第七章的例題和注釋，l～18.［12.多證可能反而更省事.14.權(quán)衡你的定理.15.展望.17.任何n個數(shù)都相等嗎？］第八章 極大和極小  1.模式  2.例子  3.相切的等高線模式  4.兩個例子  5.局部變動的模式  6.算術(shù)平均與幾何平均的定理及其初步推論  第八章的例題和注釋，1～63；[ 第一部分，1～32；第二部分，33～63].[1.平面幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平面上的等高線.4.空間中的等值面.11.穿過尊等高線的原則.22.局部變動原則.23.極值的存在性.24.局部變動模式的一個變形：無限過程.25.局部變動模式的另一個變形：有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多面體.面積和周長.體積和表面.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圓柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正對頂棱錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂棱錐.43.幾何應(yīng)用于代數(shù).45.代數(shù)應(yīng)用于幾何.51.具有正方形底的正棱錐.52.正圓錐.53.一般的正棱錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]第九章 物理數(shù)學  1.光學解釋  2.力學解釋  3.反復解釋  4.吉恩·伯努利關(guān)于捷線的發(fā)現(xiàn)  5.阿基米德關(guān)于積分法的發(fā)現(xiàn)   第九章的例題和注釋，1～38.［3.內(nèi)接于已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點交通中心.10.平面上四點交通中心.11.四點交通網(wǎng).12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多面體表面上的最短線.24.曲面上的最短線（測地線）.26.折紙法的一個設(shè)計.27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那么深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截面平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的回顧。］第十章 等周問題  1.笛卡兒的歸納理由  2.潛在的理由  3.物理原因  4.瑞利的歸納理由  5.導出結(jié)論  6.證明結(jié)論  7.非常密切的關(guān)系  8.等周定理的三種形式  9.應(yīng)用與問題  第十章的例題和注釋，1～43；[第一部分，1～15；第二部分，16～43］.［1.回顧.2.你能用不同的方法推出某些部分的結(jié)果嗎？3.比較詳細地重新敘述.7.你能將此方法用于其他某些問題嗎？8.等周定理的更清晰的形式.16.桿和繩.21.兩根桿和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平面區(qū)域的等分錢.34.封閉曲面的等分線.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由］第十一章 更多種類的合情推理  1.猜一猜  2.根據(jù)有關(guān)情形判定  3.根據(jù)一般情形判定  4.提出一個比較簡單的猜想  5.背景  6.無窮盡的過程  7.常用的啟發(fā)性假設(shè)  第十一章的例題和注釋，1～23.［16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啟發(fā)性假設(shè).21.樂觀的報酬.23.數(shù)值計算與工程師.]后紀問題的解答參考文獻

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